相対速度・・・

質問

雨の中を電車が南から北へ向かって直線軌道に走っており、
このとき風は電車の進行方向から角αだけ西に傾いた向きにVの速さで吹いていた。
電車の速さuのとき電車の中から見て雨は後方に鉛直とθの角をなして
降っているように見えた。雨粒の落下速度の鉛直成分はいくらか？

と言う問題です

回答No.4

starflora

なるほど、質問の趣旨を掴んでいませんでした。No.2 の方の言うような質問だったのですね。

　　そこで、見解を述べますと、議論ではなく、No.2 の方の回答は、風の及ぼす力の考え方が間違っています。電車の運動によるみかけの力はそれでよいのですが、求めておられるのは、雨滴が、風と一緒に運動していた場合の式です。実際は、雨滴は、風と一緒に運動しているのではないのです。

　　雨滴に風が当たると、確かに、その影響を雨滴は受けますが、非常に原始的には、風を連続流体と考えないで近似を考えると、速さＶの風から、垂直断面Ｓが受ける力は、Ｓに比例し、更に、Ｖの二乗に比例します。

　　雨滴は厳密には球形ではないのですが、その体積は、近似的に、半径の三乗に比例すると考えてもよいと思います。これは、雨滴の質量は、半径の三乗に比例するということです。他方、その断面積は、半径の二乗に比例するはずです。

　　雨滴が、落下によって空気抵抗とのあいだで均衡を持ち、最終速度に達した状態を考えると、落下速度は一定で、もの凄い大まかな近似で、横向きに風の力を受けると言うことになります。この時、運動方程式は：

　　ｍα＝ｋ・ｒ^2・Ｖ^2

　　ここで、ｍは雨滴の質量で、αは、風が吹く向きに取った加速度、ｋは適当な定数で、ｒは雨滴半径、Ｖが風の速度です。ｍ＝ｈｒ^3 とも書けます。ｈは大体４ぐらいですが、これは球の場合です。また比重は１なので、こうなります。単位系による調整はｈに含ませます（ｒやＶやｍを、ＭＫＳＡで示せば、ｈは４ぐらいです）。すると運動方程式は

　　ｈｒ^3・α＝ｋ・ｒ^2・Ｖ^2

　　となります。相当大まかなな近似式ですが。この式で、ｒを整理すると

　　ｈｒα＝ｋＶ^2
　　α＝（ｋＶ^2）／ｈｒ

　　となります。

　　つまり、仮に雨滴の最終落下速度が、その大きさ（ｒ）で決まってきて、この式の左辺の１／ｒが相殺されて消えると仮定しても、力はＶの二乗に比例します。Ｖは定数ですから、雨滴の速度ｕは

　　ｕ＝（ｋＶ^2）ｔ／ｈｒ

　　となります。ｔは、その風のなかを通過して地上近くまで落下する時間で、これは最終速度によって決まって来ます。しかし、問題なのは、風の吹いている空気の層の厚さで、ｕは違う値になるということで、更に、Ｖ^2 に比例するのですから、雨滴の水平方向の運動速度をＶとするのは、まったくの偶然でそうなることがあるかも知れませんが、一般にはとても云えないことだとなります。

　　風が吹いている空気の層の厚さが分かっていれば、雨滴の大きさも測定するとして、理論的な雨滴の落下最終速度は、雨滴の大きさｒによって決まって来ますから、地上あたりで、雨滴の水平方向の運動速度ｕも計算で出てきますし、このｕを、No.2 の方の式のＶの値のところに代入すれば、近似的な式が出てきますが、風が吹いている空気の厚さをどうやって測定するのか、また、風は、一様な風速を持つのではないということもあります。

　　風の速度Ｖで流されている雲から雨滴が落ちて来て、雨滴が最初からＶの水平速度成分を持っている場合でも、地上の風の速度と、雲を動かす風の速度が同じとは云えないという問題が起こります。また、「風速」というのは、一定時間での風速の平均値で、上空では一定の値かも知れませんが、その値が、地上での平均値と同じであるという保証がないのです。そこで、こういう考えの計算では、十分でないということになります。

　　つまり、条件が多数あり、色々な条件を指定したり測定して行かないと、質問者のあげておられる測定条件だけでは、計算できないということです。