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漸化式の解を求めてください
black_monkeyの回答
- black_monkey
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black_monkeyと言います。 殆ど内容がありませんが、蛇足のコメントをさせていただきます。 読み捨ててください。 表式は、mickel131さんの記述に従います。 【一般項の表式】 題意より(1)式の漸化式を考えます。 (1) log(a(n+1)/a(n)) = b*(a(n)-1) a(n)について解くと、 (2) a(n+1)=a(n)*exp(b*(a(n)-1)) ここで関数f(x)を(3)式で導入します。 (3) f(x)=x*exp(b*(x-1)) a=a(0)としますと一般項は (4) a(n)=f(f(f( … f(a)…))) で与えられることがわかります。 (4)式について、具体的に考えると以下のようになり、mickel131さん、kony0さんの述べれているとおり複雑な式となります。 (4)式の具体的な表式は、指数の肩に前の表式が組み込まれていくような形となり複雑なものとなります(表現が不正確ですが、ご勘弁下さい。)。 例えば、n=2までについて表記すると以下の通りになります。 a(0)=a a(1)=a*exp{b*(a-1)} a(2)=a*exp{b*(a-1)}*exp{ b*(a*exp{b*(a-1)}-1)} 一般項は、(4)式のように、初項を用いて再帰的に定義されることがわかります。ただこの表式では、具体的に計算可能ですが、n→∞で、その振る舞について、簡単に推定する事ができないのであまり御利益がありません。 【(4)式について】 mickel131さん、kony0さんが述べられているように、(4)式は、 b=0でa(n)=a a=1でa(n)=1 という性質を持ちます。 kony0さんの説明にありますa=1の周りでのa(n)の振る舞いについて蛇足説明をさせていただきます。 こうがくやさん、ぶつりやさんがよくやるように、a=1+δとおきδの1次の近似までを考慮して、a=1の近傍での振る舞いについて考えます。 a(1)=(1+δ)*exp(b*δ) =1+(1+b)*δ a(2)=a(1)*exp(b*(a(1)-1)) =(1+(1+b)*δ)*exp(b*(1+(1+b)*δ-1)) =(1+(1+b)*δ)*exp(b*(1+b)*δ) =(1+(1+b)*δ+b*(1+b)*δ) =(1+(1+b)*(1+b)*δ) a(3)=a(2)*exp(b*(a(2)-1)) =(1+(1+b)*(1+b)*δ)*exp(b*((1+(1+b)*(1+b)*δ)-1)) =(1+(1+b)*(1+b)*δ)*exp(b*(1+b)*(1+b)*δ) =1+(1+b)*(1+b)*δ+b*(1+b)*(1+b)*δ =1+(1+b)*(1+b)*(1+b)*δ 以上からa(n)は (5) a(n)=1+(1+b)^(n)*δ と類推されます。 (5)式より、-2<b<0の範囲では、δの一次の近似で、n→∞でa(n)→1になることがわかります。この結果より、a=1の近くで、-2<b<0でa(n)は1になることが予想されます。 【猿の戯言】 a(n)がパラメータ空間(a,b)で、どの様に振る舞うのかを調べるのに、身も蓋もないやり方かもしれませんが、泥臭く数値計算で調べていくと言うのも一案かと思います。 ざっくり的に a>0,b<0でa(n)は、振る舞い色々 a>0,-2<b<0でa(n)→1 a<0,b>0でa(n)→0 a<0,b<0でa(n)→発散 a>0,b>0でa(n)→発散 となるのかなぁ~? (注:上記の結果は、エエカゲンかつ粗い精度の計算なので、(a,b)の境界の値についてはたぶんウソがあります。なにぶん猿なもんですから~。) 誤記・ウソ・誤計算がありましたらゴメンなさい。
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