位相空間☆内点・外点・触点・境界点などの問題

質問

Ｍ⊂Ｒ^ｎ＝｛(x1,x2,…xｎ)｜xi∈Ｒ｝
Ｍi＝Ｍの内点からなる集合　　　Ｍe＝Ｍの外点からなる集合
Ｍf＝境界　　　　Ｍa＝Ｍの触点の集合
とする。次の事実を示せ。
１）Ｍfは閉集合である。
２）(Ｍa)a＝Ｍa
という問題があります。

自分なりの考えは・・・

１）ＭcがＭの補集合とすると、
　　(Ｍf)c が開集合であることを示す？？
　　(Ｍf)c＝(Ｍc)f？？
２）Ｍa＝Ｍi∪Ｍfから
　　(Ｍa)a＝(Ｍi∪Ｍf)a
　　　　　＝(Ｍi)a∪(Ｍf)a
　　　　　＝？？？？

みたいな考えです。
でも私の考えでは解けないし、違う部分も沢山あるかと思います。
そこでどこが違うのかや正しい答え、アドバイスなどいただけたらうれしいです。
どうぞよろしくお願いします(＞＜)

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

１(Ｍf)c が開集合であることを示す？？
この方針でいいと思います。Mfの補集合はMiとMeの合併集合です。
MiとMeが開集合であるとMfcも開集合になります。
MiとMeが開集合であることは内点と外点の定義より明らか。

２）Ｍa＝Ｍi∪Ｍfから
　　(Ｍa)a＝(Ｍi∪Ｍf)＝(Ｍi)a∪(Ｍf)a
　ここまではいいです。
あとはMaaはMaを含むのは明らかななのでMaがMaaを含むことを示せばいいです。MiはMに含まれるので（Mi)aはMaにふくまれる。また１）よりMfは閉集合なのでMfa=Mfがなりたつ。（なぜならAを閉集合とするとAcは開集合、開集合の定義よりAci=Ac成立。したがって（Aci)c=(Ac)c よってAa=A）
MiaもMfaもMaに含まれるのでMaaはMaにふくまれる　よってMaa=Ma

お礼

ありがとうございます！！
わかりやすくて、とても助かりました☆★

回答No.2

kabaokaba

この手の問題は，定義がどうなっているのかが一番大事だったりします．
いろいろな流儀があって，
何が定義で何が定理になるかはいろいろですが，
その定義が適切であれば
本質的には同じになるので，この手の問題は
位相空間の抽象的な議論になれるという
意味合いの方が強いでしょう

位相空間Xとその部分空間Mを考える．

Xの点xに対して，xがMの内点であるとは
xの開近傍Uで UがMに含まれるものが存在することをいう

Xの点xに対して，xがMの触点であるとは
xの任意の開近傍Uに対して，UとMが共通部分をもつこという．

Xの点xに対して，xがMの境界上の点であるとは
xがMの内点ではなく，かつ，Mの触点であることをいう．

こんな感じでしょうか．
＃外点は無関係なので省きました
＃定義するなら，触点でもなく内点でもない点でOKでしょう

こんな定義を仮定すると
(1)Mfは閉集合である
(Mf)c = ((Mi)c)c または (Ma)c
= (Mi) または (Ma)c
Miの任意の点xに対して，ある開近傍Uxが存在し，
Ux⊆Miとできる．したがって
Miはすべてのxに対するUxの和集合なので開集合

xが(Ma)cの点であるとする
このとき，定義よりxの開近傍UxでMと共通部分を持たないものが
存在する．Ux⊆(Ma)c であることを示せばよい
Uxの点uで，(Ma)cの点ではないものが存在するとする．
uはMaの点であるので，任意の近傍とMは共通部分をもつ．
ところが，Uxはuの近傍であるが，Uxの定義よりMとの共通部分はない．
これは矛盾．よって Ux⊆(Ma)c

以上より，(Mf)cは開集合の和となり，開集合
よって Mfは閉集合

(2)(Ma)a=Ma
＃集合の一致は包含関係から攻めるのが一般的です
xをMaの任意の点とする
xの任意の開近傍Uxに対して，UxとMaは共通部分をもつ
（xはMaの点だから共通部分には少なくともxがある）．
したがって定義より，xはMaの触点なので Ma⊆(Ma)a．
＃実際は，M⊆Ma を示したことにもなります．

次に xを(Ma)aの任意の点とする．
xの任意の開近傍Uxに対して UxとMaは共通部分をもつ．
この共通部分内の点yをとる．
yはMaの点であるので，触点の定義より
yの任意の開近傍とMは共通部分をもつ．
Uxはyの開近傍でもあることに注意すれば
UxとMは共通部分をもつ．
Uxはそもそもxの任意の開近傍であったので
これはxがMの触点であることを示している．
つまり，(Ma)a⊆Ma

以上より，(Ma)a=Ma

お礼

そうなんです！！参考書によって定義や定理が違うんですよぉ！！！！
丁寧な回答ありがとうございました～(^^)