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二階偏微分と二次元空間の関係
定理 R^nの開集合Uで定義され, R^mに値をとる函数fに対し, 点c∈Uのある近傍Wでf_xi,xjとf_xj,xi(二階偏導関数)がともに存在して, cにおいて連続ならばf_xi,xj(c)=f_xj,xi(c)が成り立つ. 証明の6～8行目 「f_xi,xj(c)は定義によれば、、、 、、、表すことができる」 これが成り立つ正確な理由を教えてください。
- shoichi_0313
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f_xy(c)は定義によれば偏微分を2回続けて行ったものであり, 1つの変数についての極限操作を2回繰り返して得られる. ところがこれを2次元空間R^2における1つの極限で表すことが出来る. これが成り立つ正確な理由はその次以降に書いてある通り 2次元空間R^2における1つの極限とは lim_{(h,k)→(0,0)}Δ/(hk) との事です。 いまl=(h;k)∈R^2を小さくとり,e+l∈Wとなるようにする. また φ(x)=f(x,b+k)-f(x,b) と置けば φ'(x)=f_x(x,b+k)-f_x(x,b) である. いま Δ(l)=Δ(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b) と置けば, 平均値の定理により Δ(h,k)=φ(a+h)-φ(a)=hφ'(a+θh)=h{f_x(a+θh,b+k)-f_x(a+θh,b)}.(0<θ<1) 仮定によって(a,b)の近傍でf_xyが存在するから y=bとy=b+kとの間の区間に関して,平均値の定理を適用すれば Δ=hkf_xy(a+θh,b+θ'k).(0<θ'<1) 仮定によってf_xyは点(a,b)において連続である.∴ lim_{(h,k)→(0,0)}Δ/(hk)=f_xy(a,b) x,hとy,kとを交換しても同様に lim_{(h,k)→(0,0)}Δ/(hk)=f_yx(a,b)
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