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距離空間の問題です。

  • 質問No.5888227
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お礼率 62% (5/8)

距離空間の問題です。

(X,d):距離空間
Bd1(p;r) = {x∈X|d(x,p)<r} (←開球体?)
Bd2(p;r) = {x∈X|d(x,p)≦r} (←閉球体?)
としたとき、Bd1(p;r)とBd2(p;r)の境界は共に
{x∈X|d(x,p)=r}
になることを示せ

という問題です。解く方針としては
A = Bd1(p;r)とすると
X = Ai(Aの内部)∪Ae(Aの外部)∪∂A(Aの境界)
からAiとAeを求めて、∂Aを導く
Aは開集合より、Ai=A={x∈X|d(x,p)<r}...(1)
X-A={x∈X|d(x,p)≧r}より
Ae=(X-A)i=・・・={x∈X|d(x,p)>r}...(2)
(1)(2)より
∂A={x∈X|d(x,p)=r}

という感じで示そうとしたんですが
(2)の・・・の部分がうまくできません
どのように言えばいいんでしょうか?

また、閉球体の方の示し方もお願いします

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 40% (829/2062)

> x∈Xが「どんなr>0に対しても、Bd(x;r)はAに含まれない、かつ、Bd(x;r)∩A≠φ」
それでは、
{x∈X|d(x,p)=r}
という集合が、Bd1(p;r)、Bd2(p;r) の境界であることを、この定義にしたがって確かめればよいのでは。
・ {x∈X|d(x,p)=r}上の点が全て境界の定義を満たす
・ {x∈X|d(x,p)=r}上にない点全ては、境界の定義を満たさない
という2つことを確かめればよいです。
お礼コメント
hayami007

お礼率 62% (5/8)

何とか解けました
ありがとうございます
投稿日時:2010/05/12 18:39

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 40% (829/2062)

そもそも、質問者さんの教科書での境界の定義は何ですか?
普通は、
∂A(Aの境界) = Aの閉包 - Aの内部
と定義するのですかね。だとすれば、この定義通りに計算すればいいと思いますが。
あるいは、
∂A(Aの境界) = Aの閉包 ∩ (X-A)の閉包
という定義もありえますが、それなら、その定義通りに計算すればいいと思います。
補足コメント
hayami007

お礼率 62% (5/8)

回答ありがとうございます

使っている教材では、
x∈Xが「どんなr>0に対しても、Bd(x;r)はAに含まれない、かつ、Bd(x;r)∩A≠φ」
をみたすとき、xをAの境界点といい
Aの境界点全体の集合を∂A(Aの境界)
と定義されています。
投稿日時:2010/05/12 00:52
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