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数学の距離空間について。
Xを任意の集合とし、 d(x,y)=0(x=y)、1(x≠y) で、関数d:X × X →Rを定める。 Xの任意の部分集合は距離dに関して開集合、閉集合であることを示せ。特に、一点である{x}、x ∈Xは開集合である。 という問題がわかりません。 ご指導よろしくお願いします。
- satoshi929
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- OurSQL
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「回答番号:No.3」への補足で、 >B(x,r):={y∈X| |y-x|<r} と書かれているため、「回答番号:No.2」への補足に書かれている >B(x,r)は、r≦1のとき、{x}のみの一点となることがわかりました。 というコメントを、信じていいのかどうか判断できません(そもそも X は任意の集合ですから、x や y は数とは限らず、引き算など可能なのでしょうか)。 B(x,r) の定義が曖昧では、X の開集合も定義できないので、「一点である{x}、x∈Xは開集合である」ことが理解できなくて当然です。 「回答番号:No.1」はわずか2行ですが、分かりやすい説明なので、もう一度よく読んでみるといいと思います。 { y ∈ X | d ( x, y ) < 1 } = B ( x, 1 ) となります。
- koko_u_u
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>dは最初に書いた通りの定義です。 一応、問い掛けてみたんですけどね。 d の定義に従って B を表現して補足にどうぞ。
- koko_u_u
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>r>1のときにBがX全体となる理由がわかりません。 B(x, r) の定義は何ですか? 距離 d の定義はどうなっていますか?
- koko_u_u
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関数 d が X 上の距離になっていることはわかりましたか?
補足
はい、わかりました。本で調べてみたところ、B(x,r)は、r≦1のとき、{x}のみの一点となることがわかりました。ですが、r>1のときにBがX全体となる理由がわかりません。 また、そこから閉集合かつ開集合になる理由もわかりません…。ご指導いただきたいです。
- hugen
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[y|d(x,y)<1]={x}⊂{x} A=∪[x∈A]{x}
補足
すいません、問題文に誤りがありました。 Xの任意の部分集合は距離dに関して開集合「かつ」 閉集合であることを示せ。特に、一点である{x}、x∈Xは開集合である。 でした。
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