幾何学の問題です

質問

この問題が解けず、くろうしています。

直積空間ｘ×ｙの開集合ｇに対して、ａ×ｂ⊂ｕ×ｖ⊂ｇとなるｘの開集合ｕとｙの開集合ｖが存在することを示せ。

どなたかとくことはできますでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.6

muturajcp · ベストアンサー

A⊂X,B⊂Y
A,Bコンパクト
A×B⊂G⊂X×Y
G開集合とすると
(a,b)∈A×Bに対して
(a,b)∈U_{a,b}×V_{a,b}⊂Gとなる
Xの開集合U_{a,b}とYの開集合V_{a,b}が存在する
B⊂∪_{b∈B}V_{a,b}
Bコンパクトだから
{b_k}_{k=1～n}⊂Bがあって
B⊂∪_{k=1～n}V_{a,b_k}=V_a
a∈∩_{k=1～n}U_{a,b_k}=U_a
{a}×B⊂U_a×V_a⊂G
A⊂∪_{a∈A}U_a
Aコンパクトだから
{a_k}_{k=1～m}⊂Aがあって
A⊂∪_{k=1～m}U_a_k=U
B⊂∩_{k=1～n}V_a_k=V
A×B⊂U×V⊂G
となるXの開集合UとYの開集合Vが存在する

お礼

ありがとうございます！とても参考になりました！
自分で考えてみます！本当にありがとうございます！

回答No.5

tmpname

X,YにしろA,Bにしろ少なくとも何か別の条件が無い限りこの問題は解けません...

お礼

ここまで親身に回答ありがとうございます！
そうですか・・・。やはりほかの条件が必要なのですね。
この条件があればこうやって解けるとかというものはあるのでしょうか？

回答No.4

alice_44

所与の A,B に関して A×B⊂G であるとき、
A×B⊂U×V⊂G となる U,V が在ることを示せ
…という問題ではないのかな？
それにしても、X,Y の分離性について
何らかの仮定が必要だと思われるが。

お礼

回答ありがとうございます！
おそらくこの問題はそのようなものだと思います。

Ｘ、Ｙの分離性について何も記述がありません。やはりない場合は、解くことができないのでしょうか？

回答No.3

tmpname

ですから、それですと例えば

R⊃X=[0,1], Y=A=B=X, G=Φ, X, YにはR(実数体)からの相対位相
を入れると、
＊Xはそれ自身compact, よってYもcompact, AはXのcompact集合、
　BはYのcompact集合。
＊定義よりG=ΦはX×Yの開集合
ですがそもそもA×B⊂Gが成立せず、題意を満たすU, Vは存在しない

となって明らかな反例があります。

お礼

何度もありがとうございます！
ぼくはこの問題はどんな時もというわけではなく、
なにか１つでも存在すればいいというものだと認識してやっていました。

この問題は、どんなときにも成り立たないのでしょうか？

回答No.2

tmpname

例えばXをそれ自身compactな空間、X=Y=A=B, g=Φと
おくと、「X, Yは位相空間で、AはXのコンパクト空間、
BはYをコンパクト空間」ですが、問題の反例に
なってますよね。

A, Bの条件は何か等を含め、もう一度問題を初めから正確に
書き直してくれませんか（問題文を正確に把握していますか）？

補足

何度もありがとうございます。
Ｘ、Ｙを位相空間、ＡをＸのコンパクト集合、ＢをＹのコンパクト集合とする。
直積空間Ｘ×Ｙの開集合Ｇに対して、Ａ×Ｂ⊂Ｕ×Ｖ⊂ＧとなるＸの開集合ＵとＹの開集合Ｖが存在することを示せ。

という問題です。よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname

a, bの定義はなんですか？

補足

大事なことを書くのを忘れていました。
Ｘ、Ｙは位相空間で、ＡはＸのコンパクト空間、ＢはＹをコンパクト空間です。
よろしくお願いします！