ユークリッド幾何学(初等幾何学)

質問

初等幾何学では2点間の長さとはどのように定義していますか?参考URLなどでも教えてください.
単に距離関数として定義しても一意でないので不十分だし座標は使わないのが趣旨だと思います.

私は初等幾何学を次の方針で組み立てるのがいいと考えました.

1. 点・直線は無定義語
2. 長さは次のようなやり方で定義する
　1. 線分の平行移動・回転移動を無定義概念
　2. 線分の2等分を定義
3. 極限操作にの導入(n→∞ の導入)
4. 2点の間に基準となる直線が何個入るか
この過程を経て距離や長さを定義したいと思いますが
もっといい理解の仕方があれば教えてください.

回答No.3

totoro7683 · ベストアンサー

原論で長さをどのように定義しているか知りませんが、おっしゃるとおりのやり方で長さを定義できます。
ただし、実数論つまりコーシー列の収束を使います。
簡単にいいますと直線l上に基準となる線分OPをとる。
直線lには向き、つまり順序が定義できる。
点Pを１に対応させる。
すると整数に対応する点をl上に取れる。
2^m等分が可能なのでM/2^mに対応する点をとれる。
こうしてとった２点X=M/2^m,Y=N/2^nの長さはM/2^m-N/2^nとする。
l上の任意の点Aにたいして、X_n<A<Y_nとなるような点X_n,Y_nをすでに2^m当分点から取れる。
任意の実数eに対し、X_nY_n<eとでき、（アルキメデスの公理）実数論を使いX_n,Y_nはともに同一の極限値xに収束することが示せる。 OA=xとおきながさOAが定まる。
こうしてl上に距離が定義でき、線分の合同公理を用いて、平面上の距離に拡張できる。　

大体上のような感じです。
ユークリッドの時代に実数論がないのですが、有理数の極限としての実数を厳密でなく使っていたと思います。
なお平行、合同というのは無定義概念ですが、移動（平行移動、回転移動）という概念はユークリッド幾何では用いていないと思います。（合同公理は長さを定義するのに必要ですが、）こういったものを定義するには座標が必要になると思います。

上で簡単に言ったことは砂田利一'幾何入門’に詳しく書いてありますので参考にしてください。

お礼

ありがとうございます.

>原論で長さをどのように定義しているか知りませんが、
>おっしゃるとおりのやり方で長さを定義できます。
私も原論の内容は詳しくないですが
現代数学を知っている立場からすれば
長さや角度の定義はかなり適当に済ましているように思います.現代数学に基づいてきちんと定義しようとすると測度論的な考え方が使えるような気がします.
そうするとtotoro7683様もおっしゃるとおり自然数だけでなく実数も必要だと思いました.

まず2等分を可能にするために選択公理と合同の概念が必要だと思いました.ただし合同については2線分についての合同だけで足りると思います.(一般の図形の合同までなくてもいいと思いました.)2線分が合同であるというのは長さが同じであることに他なりません.

ところで2直線の平行は(全空間を平面で考えると)共有点が1個でない場合と定義できます.(直線は定義できないと思いますが2直線の平行は定義できます.)

また平行移動とは平行性を保存する写像として定義できると思います.つまり
　写像fが図形F上の平行移動⇔任意のF上の点a,bに対して直線abと直線F(a)F(b)が平行
と定義できると思います.

2線分の合同をどう定義するかというのが難しいと思います.

回答No.2

stomachman

「もっといい理解の仕方」はですね、普通のユークリッド幾何学です、という答になっちゃいますよ。いやそうじゃなくて新しい理論を作りたい、とおっしゃるのは、その理論は普通の幾何学とは違う性質を持っていて、なおかつ、普通の幾何学（の一部）と同等の能力も持つようにしたい、ということじゃないんでしょうか。

ご自作の理論が「初等幾何学」と解釈できるものかどうかは、たとえば、ご自作の理論がユークリッド幾何学の一部と対応すること（あるいは、ご自作の理論がユークリッド幾何学を包含すること）を証明することによって示せばいいでしょう。具体的には、系Aの用語を系Bの用語に対応づけるルールRを定め、このルールで系Aの用語を全部書き換えたとき、系Aの公理系が系Bの公理系だけから証明できれば、系Aは系Bの一部であることが証明できたことになります。（ルールRを「解釈」と言います。）
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=133062

　なお、ご質問の文章に「無定義」の話がありますが、無定義の用語はそれ自体なんの意味もない。無定義の用語を幾つ導入しても、その用語を含む公理を与えてないと使いようがありません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=43691

お礼

ありがとうございます.

何といいますか、私が望んでいるものは
所謂、ヒルベルトの幾何学基礎論やユークリッド原論そのものよりはもっと現代数学に基づいた形で初等幾何と同等の理論を構築したいという趣旨です.ただしR^2やR^3で考えるというのは私がこの質問で望んでいることではありません.つまり座標を導入せずに直接的に図形を対象として理論を展開することを望んでいます.

内容的にはユークリッド幾何やR^2,R^3と同値ですが現代数学を基にしていて座標を導入しないものを望んでいます.

ちなみに座標で記述する理論は座標の取り方に依存した結論しか得られないことが欠点のように思います.(任意の座標で成り立つ結論を得られることもあると思いますが).位相幾何は座標に依存しない形で展開されていると思います.また微分幾何は座標を用いて記述していると思いますが途中から座標に依存しない展開をしているようにも思います.代数幾何は座標に依存した感じがします.(よく分りませんが)

回答No.1

kakkysan

ユークリッドの原論
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/he.html#f1

1～4　で何が公理・公準でしょうか

＞平行移動・回転移動を無定義概念
無定義概念というのは「説明しようのないもの」、「直感的な物」で使用します。平行移動・回転移動は「直感的ではなく」「他から説明出来るもの」ではないでしょうか？またそれらの移動は方向・量を持つものであり、更に回転移動では「回転の中心」を定めなくてはいけません。これらを無定義概念とするにはかなり無理があると思われます。

＞2. 線分の2等分を定義
ここではすでに「線分の長さ」を使っている？　どのように定義するのでしょう？

＞極限操作（に）の導入
　nは何を表す？　　∞の定義は？　　また何のため？

＞4. 2点の間に基準となる直線が何個入るか
基準となる直線とは何ですか？　直線

数学は自由ですから、あなたの方法で幾何学の体系が作られればそれはそれで「新しい数学」が作られるかもしれません。是非頑張ってください。

参考URL：

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/he.html

お礼

ありがとうございます.

>平行移動・回転移動は「直感的ではなく」
>「他から説明出来るもの」ではないでしょうか？
平行移動を定義するのに長さの概念が必要かなと思っていましたがそうでもないような気がしてきました.平行の概念だけで定義できそうなに思いました.回転についてはよく分っていません.

長さは次のようなやり方で定義します.
1. 線分の平行移動・回転移動を無定義概念
2. 線分の2等分を定義
3. 極限操作にの導入(n→∞ の導入)
4. 2点の間に基準となる直線が何個入るか

に訂正させて下さい.
線分の2等分の定義自体は合同の概念で足りると思います.これの直感的な説明としては物差しがなくても線分を半分に折ることはできるということです.

数列の極限を用いるために自然数論は使うものとします.実数論まで使うかどうかは未定ですが座標を導入すれば初等ユークリッド幾何と言うよりは座標幾何になってしまうのでそれは避けたいと思います

＞4. 2点の間に基準となる直線が何個入るか
すみません直線でなく線分に訂正しますがどんな線分でも構いません.要は単位のとり方の違いだけです.