中二 座標幾何 等積変形の問題です

質問

2つの直線ｙ＝1/2ｘ+4・・・(1)　ｙ＝ax+10・・・(2)がある。下の図で点A、Bは直線(1)が、それぞれ、ｘ軸ｙ軸と交わる点であり、点ｃは直線(2)がｙ軸と交わる点である。
また、直線(2)が線分ABと交わる点をP、ｘ軸と交わる点をQとする。△PBCと△PAQの面積が等しくなるとき点Qの座標を求めよ。
よろしくお願いします。

回答No.3

deshabari-haijo

ANo.1の別解です。

先ずは、大勢には全く影響のない訂正から。
下から5行目
誤：「線分QOに長さをx（＞0）とすると」→
正：「線分QOの長さをx（＞0）とすると」

2つの直線の交点Pのx座標は、x/2=ax+10から、x=-12/(2a-1)
また、y座標は、y=x/2+4=-6/(2a-1)+4=2(4a-5)/(2a-1)
直線(2)の式において、y=0とすると、x=-10/a
よって、点Qの座標は(-10/a,0)
△PBCの面積は、底辺をBC=10-4=6とすると、6×12/(2a-1)÷2=36/(2a-1)
△PAQの面積は、底辺をAQ=-10/a-(-8)=2(4a-5)/aとすると、
2(4a-5)/a×2(4a-5)/(2a-1)÷2=2(4a-5)^2/a(2a-1)
36/(2a-1)=2(4a-5)^2/a(2a-1)から、36a=2(4a-5)^2
ここで、4a-5=Xとおくと、4a=X+5
よって、
9(X+5)=2X^2
2X^2-9X-45=0
(X+3)(2X-15)=0
これは、-8＜-10/a＜0つまりa＞5/4（4a＞5）として考えたものであるから、
X=15/2、a=(X+5)/4=(15/2+5)/4=25/8、-10/a=-80/25=-16/5
よって、点Qの座標は(-16/5,0)

以上から、ANo.1のように考えた方が、いかに簡単であるかをご理解頂けたかと思います。

回答No.2

info33

ｙ＝1/2ｘ+4・・・(1)　ｙ＝ax+10・・・(2)
△PBC=△PAQ ⇔ △CQO=△ABO ⇔ CO*Q/2=AO*BO/2
Q (-10/a, 0) なので
10*(10/a) = 8*4 ⇔ a=100/32=25/8 ⇒ -10/a= -16/5
(答え) Q(-16/5, 0)

回答No.1

deshabari-haijo

直線(1)の式において、y=0とすると、x=-8
よって、点Aの座標は(-8,0)、
直線(1)の式において、x=0とすると、y=4
よって、点Bの座標は(０,4)
直線(2)の式において、x=0とすると、y=10
よって、点Cの座標は(０,10)

△CQOと△BAOにおいて、四角形BPQOは共通であるから、△PBCと△PAQの面積が等しくなるためには、△CQOの面積と△BAOの面積が等しければいいことになります。
線分QOに長さをx（＞0）とすると、
△CQOの面積は、QO×CO/2=10x/2=5x
△BAOの面積は、AO×BO/2=8×4/2=16
5x=16から、x=16/5
よって、点Qの座標は(-16/5,0)