ヒルベルト変換について。

質問

x(t)=cos2πft ; t∈(-∞,∞)
をヒルベルト変換したいのですが、どうやってやればいいでしょうか？資料などで調べても分かりませんでした。よろしくお願いいたします。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

t平面で、
実軸を通り上半平面を回って閉じる積分路を考えると、exp(it)/(t-x+iε) は積
分路上及び内部で正則だから

∫dt exp(it)/(t-x+iε) = 0

従って

1/(t+iε) = P/t - iπδ(t)

という公式より

P∫dt exp(it)/(t-x) = iπ∫dt δ(t-x)exp(it)
= iπ exp(ix)

となってsinとcosのヒルベルト変換

P/π∫dt cos(t)/(t-x) = -sin(x)
P/π∫dt sin(t)/(t-x) = cos(x)

が得られます。

回答No.2

grothendieck

Pはコーシーの主値(principal value)をとることを意味します。

回答No.1

grothendieck

1/(x+iε) = P/x - iπδ(x)

という有名な公式を使うとすぐできます

お礼

すみません、Ｐは何でしょうか？？