変換について

質問

(x0,x1,x2,x3)のような４元ベクトルにおいて、

作用積分 ∫Ldt 　　L=-mc{(dx0/dt)^2-Σ(dxi/dt)^2}^1/2

として、　
変換t→t'= f(t)
を考える場合、dx/dt→dx/dt'としてもいいのでしょうか？それとも、xはtの関数なので、dx/dt→dx'/dt'としなければならないのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

作用積分 ∫Ldt はミンコフスキー空間で世界線の長さという幾何学的な意味を持った量です。幾何学的な量は変数変換で変わりません。t'= f(t)をtについて解いたものを
t = g(t') としたときx'というのがx'(t') = x(g(t'))の意味であるとすれば、x(t)に対応する軌道はx'(t')なので
x'(t')の方を使わなければなりません。積分変数をtからt'に変換すると

　dx/dt = (dx(g(t'))/dt')(dt'/dt)

なので

　∫Ldt
=-mc∫√{(dx'0/dt')^2-Σ(dx'i/dt')^2}(dt'/dt)(dt/dt')dt'
=-mc∫√{(dx'0/dt')^2-Σ(dx'i/dt')^2}dt'

なのでラグランジアンは不変ではないにも拘わらず、作用、したがって運動方程式の形も不変です。

お礼

ありがとうございます。参考にしてよく考えてみます！！