積分で表された系ってどういう意味を持っているんですか？

質問

次の作用積分で記述される系を考える。
Ｓ= -mc∫dτ(（dx0/dτ）-Σ(dxi/dτ)^2)^1/2 i=1,2,3

座標： xμ(τ) (μ=0,1,2,3)

と参考書に書いてあるのですが、
このときのＳって何のことなんでしょうか？
また、『不変であること→保存量が存在する』のであれば、もしもこの被積分関数が何らかの座標変換で不変であるとき、それに対応した保存量を求めることは可能ですか？

解析力学がいまいち何のことやら分かりません…。
よろしくお願いします。

回答No.1

atomicmolecule · ベストアンサー

この積分は作用積分ですね。「積分で表された系って系がどういう意味をもつか」が質問タイトルですが、解析力学ではどんな系でも作用積分が定義されて、これが理論の出発点です。作用積分から理論を展開する解析力学では、運動方程式や全ての事はこの作用積分から導出されます。この立場では、もっとも基本的な
原理は「最小作用の原理」と呼ばれ、「物体の運動は作用を最小にするような経路である」というのが理論の出発点になります。つまり考え方はこうです。

（newton流)ニュートンの立場では物体の運動は力がかかると軌道がまがったり加速したりするわけで、運動の時間変化は力が決めます。つまりニュートン的な考えでは、Ａ点からＢ点まで物体が飛ぶ時の軌道を見て、「嗚呼、今物体がＡ点を出発した、力がかかって軌道が曲がったな・・・・」と考え、そういった力による変化の積み重ねで「結局Ｂ点が最終地点となった！」と見るわけです。
（最小作用の考え方）ラグランジュ（？）達の立場では物体はＡ点からＢ点に行く事は分っているとして、「Ａ点を出発して、いったいどういう軌道をとってとＢ点にたどりつくのか？」を問題にします。そして数ある軌道の中から作用が最小になるような軌道が実際の運動として実現すると考えるわけです。なんか不思議な考え方ですよね。まるでＡ点とＢ点をつなぐ軌道はもともといろんな可能性があって、物体はそれらの可能性を調べてから、作用が一番小さくなる軌道を選ぶような・・・・まるで物体は運動する前から、軌道に関する情報を色々と調べてから運動を開始するようなイメージがわきます。（この解釈はもちろん変で、まちがっていますが、数学的にはそう見る事も出来るという事です）　

そして最小作用の原理は結局ニュートンの微分方程式と等価になる事が示せるので、理論を数学的に美しく書くための方法であって、そういう変な解釈は間違っているように思えてきます。少なくても古典力学だけを議論するのであるならば、これは数学的な書き換えに過ぎなくもありません。しかし量子力学まで勉強すると、実は最小作用の原理の方が、運動方程式から出発する理論よりも物理的に優れた方法であることが分ります。

ということで、これは非常に大事なものなので是非勉強して理解してください。少なくとも物理を体系的に学ぼうと思うなら「最小作用の原理」や「ネーターの定理」などは知っておかなくてはなりません。もしもbaby-dollさんが工学系の分野が専門で、量子力学の深いところなどが必要でないなら、あまり深入りする必要もないかもしれませんが。

これでＳって何でしょう？の質問には答えたと思います。次に不変量が求まるか？という質問には「求まります」というのが答えで、ネーターの定理を勉強してください。不変量を求める公式がどの本にもあるはずです。

補足

早速の回答ありがとうございます☆作用積分のことはだんだん「こんな感じ？」みたいな気はしてきました。ぼんやりとしか分からないことがあるので、重ねて質問させてください。「座標変換における作用積分の不変性」とは、座標変換しても作用積分の結果が変わらないということですか？これは「座標変換において被積分関数が不変」であることとは別のことですか？一応物理学科なのですが、諸事情により1,2年のブランクがあってほとんど何も分かってない状態なんです。よろしくお願いします。

回答No.3

atomicmolecule

ラグランジアンが不変な場合には作用は当然不変。
結果はおなじです。ただ一般には「作用が不変になる」事から導出するほうが適用範囲が広いとおもいます。何故なら

ラグラジアンが不変⇒作用は不変

作用が不変⇒ラグランジアンが全微分だけずれても良い

ということから作用の不変性が少し広いですよね。変換が座標による場合には作用の不変性が保存則を与えてくれます。ラグランジアンは全微分だけ変わってしまいますから。よって作用の不変性から保存則を出す方法が適用範囲が広く、優れています。

お礼

ラグランジアンからの計算ばかりしかやっていなかったので、作用積分とラグランジアンをうまく結び付けられていなかったんですね。。もっと勉強して解析力学に慣れなきゃだめですね。初歩的な質問に丁寧に答えていただいて、ほんとうにありがとうございます。

回答No.2

atomicmolecule

>> 座標変換における作用積分の不変性」とは、座標変>> 換しても作用積分の結果が変わらないということで>> すか？

そうです。もっとはっきり言うと作用積分の値が変わらない

S(x)=S(x')

の時に何か対応した保存料があるといういみです。
軌道を一つ指定すればＳが計算できますね。そういった意味でＳは軌道x(t)によっている（汎）関数といいます。そして、特定のx(t)とx'(t)という二つの異なる軌道を選んで計算したときに、Ｓが変わらないということがあれば、それに対応した保存量があるということです。

相対性理論では、ラグランジアンは座標変換に依らないように作るわけなので、これに対応した保存量があるはずだ！と探してみると、エネルギーと運動量とか角運動量などが出てきます。

補足

エネルギーや運動量、角運動量などの保存則は、ラグランジアンからとりあえず授業でも導いたのですが、作用積分から保存量を求めるのがよくわかりません。本質的には同じものなのかもしれませんが、構造がよく分かっていないので…。質問に書いたような作用積分の、並進座標変換における不変性から求められる保存量は、やはり運動量になるんですか？質問がだんだん増えてしまって申し訳ありません。。。