偏微分について

質問

偏微分を学習していると(∂^2/∂x∂y)F(x,y)がでてきました。これはｘｙどちらで先に偏微分をするのでしょうか？

また（∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2）F(x,y)は
(∂^2/∂x^2)F(x,y)+(∂^2/∂y^2）F(x,y)と同義ですか？

回答No.4

noname#21219 · ベストアンサー

♯1です
(∂^2/∂x∂y)F(x,y)=∂/∂x(∂F/∂y)だから
何度でも言いますがyが先です。『物理のための数学』
でも見て確認してください。演算する文字が早いほど
後に付くのです。演算される文字に近いように書くのです。

Fxy=Fyxが成り立つかどうか知りたかったなら、その旨
初めから質問に明記してください。FxyとFyxが存在して共に連続ならFxy=Fyxです。厳密なことが知りたかったなら、数学カテで質問すべきです。
Shwarzの定理
Youngの定理とかいうものは、物理で偏微分を勉強する時には顔を出しません。そういう定理が必要な関数を
ほとんど扱わないということです。

お礼

そうですか。すいません・・・。

回答No.3

guuman

厳密には
ｆxy(x,y)=ｆyx(x,y)
となるとは限りません
そうなるためには条件が要ります
Shwarzの定理
Youngの定理
というのが高木貞二の解析概論の４０から５０ページ当たりに書いてあります

ゆるい条件として
ｆｘｙとｆｙｘが存在してそのどちらかが連続であるならば他方も連続であり両者は等しい

この条件はSchwarzによってゆるめられます

お礼

順番が関係しないためにはやはり条件がいるのですね。
ありがとうございました。

回答No.2

connykelly

ご質問の偏微分は2変数(x,y)の偏微分ですね。偏微分の場合、変数ｘとｙはそれぞれ独立変数と捉えますので、ｘ、ｙどちらで先に微分してもかまいません。つまりｘで微分するときはｙの定数とみなし、yで微分するときはｘは定数とみなすということになります。

＞また（∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2）F(x,y)は
(∂^2/∂x^2)F(x,y)+(∂^2/∂y^2）F(x,y)と同義ですか？

同義です。（∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2）は演算子と言われ、この場合は2次元のラプラス演算子という名前が付いています。
参考URLにはご好意で物理数学の講義テキストが公開されていますので一度ご覧になられるといいでしょう。
http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/FujiwaraLab/index-j.html
↓
数学2 （工学部共通講義）
↓
10章　物理現象と偏微分方程式

補足

ありがとうございます。参考URLはとても参考になりました。が、まさにその10章　物理現象と偏微分方程式のところにのっているFxy=Fyxが成り立たない例のF(xy）について考えているので順番が関係するのですがこのサイトを見た限りでは、上記の場合はｘから微分するようですが　あってますかね？

回答No.1

noname#21219

どちらから先に微分しても結果は同じです。
ですが、質問の場合は一応yが先でしょう。

また（∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2）F(x,y)は
(∂^2/∂x^2)F(x,y)+(∂^2/∂y^2）F(x,y)と同義ですか
その通りです。

補足

ありがとうございます！
でもｘを先に微分するようにおもうのですが…