１＋１＝２の証明って？

質問

１＋１＝２であることを証明できると聞きましたが
どうやってやるんですか？
虚数を使うとか何とかって言ってたような

回答No.15

stomachman

No.6で導入したf(n,m,k)の意味を解説します。

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　tgbさんのNo.12は単なるミスとは思いません。No.8, No.10, No.12は、No.8にある
> 加法、減法の演算を内包したような得体の知れない関数
> が突然定義される事に引っかかりを感じ
という言葉が示すとおり、f(n,m,k)なる、いかにも人工的・技巧的な関数が天下りで与えられた、という印象から来る自然な疑念であり、それに対する解説としてはNo.9, 11が不満足であるためにNo.12が書かれたと理解しています。質問者であるtaurus4さんも、当然同様の疑念を持ったことでしょう。
　しかしNo.7が削除されるという事態が発生し、No.8における
> 加法、減法の演算を内包したような得体の知れない関数
の意味が不明になってしまいました。つまり「f(n,m,k)の意味の理解を促すこと自体が本サイトの主旨に反する」とサイト管理者から断じられた訳です。このため、No.13では（またしても削除されることを想定しつつ）歯切れの悪いアドバイスをするしかありませんでした。
　で、No.7の削除は承服しがたい干渉であると考えinfo_oshiete@goo.ne.jpに激怒の抗議を送ったところ、暫く時間が掛かりましたが、結局「削除は誤りであった」との回答があり、No.6の末尾に付ける形で回復されました。なお同時にNo.13もこっそり改造されたようです。
　以上、ちと業務連絡っぽいのですが、経緯を説明しないと解説の繋がりが分からなくなってしまうので、やむを得ません。
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　かくて、f(n,m,k)の構造とその意味の解説が安心してできる状態になったわけです。では早速。

　幼い子供がこれから足し算を憶えようというときに、どんな風にやるでしょうか。
　3+2をやるには、右手の指を３本出して、左手の指を２本出して、これを並べて数えなおします。「１，２，３，４，５。ねえ、３たす２は５なの？」
指さし数えたいのに両手が塞がっていますから、舌を伸ばしたりして微笑ましいものです。

　もうちょっと成長しますと、指を３本出しておいて、ここに「あと２本、指を追加する」という方法を憶えます。つまり、「（指３本出す）１（と唱えて指４本にする）２（と唱えて指５本にする）」とやって、指の形を見て（数えなくても分かるまでに上達しております）「答は５」。
　ここで「指を追加する」という操作はs(n)と同じであることにお気づきかと思います。s(n)を２回やるのが、２を足す、ということです。つまり
3+2 = s(s(3)) = 5
ですね。f(n,m,k)は、この「もうちょっと成長した子供」のやり方をそのまま真似たに過ぎません。

　f(n,m,k)と、「stomachman足し算」の定義を再掲しますと
●f(n,m,m)=n
●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
●n+m = f(n,m,0)
です。これを使って3+2をやってみると、
3+2 = f(3,2,0)
= f(s(3),2,s(0)) = f(4,2,1)
= f(s(4),2,s(1)) = f(5,2,2)
= 5
となります。
・f(n,m,k)のnの部分が、「出してある指の数」を表しています。ですから、上記の計算過程でnは3,4,5と増えていきます。
・f(n,m,k)のmの部分は、「指を幾つ追加すれば終わりか」という情報の記憶です。だからずっと変化せず2のままですね。
・f(n,m,k)のkの部分は「幾つ指を追加したか」を数えるカウンターです。すなわち、指を追加する際に「１，２」と唱えることを表しています。
　で、このカウンターが、記憶してある「指を幾つ追加すれば終わりか」という情報と一致したら、追加をやめる。そのときのnが答になっています。これを表す規則が
　f(n,m,m)=n
です。「「記憶」と「カウンター」が同じなら、「出してある指の数」が答である」という事をソノマンマ表している。そして、
　m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
の方は、指を出しながら数を唱える方法を表す規則という訳です。

　以上のように、f(n,m,k)は「案外普通」の事を、記号で表したものに過ぎないんです。もし、子供の足し算のやりかたを、「普通の足し算」と認めるのであれば、以上の議論で「stomachman足し算」はまさにその「普通の足し算」であることが（非形式的にですが）示されています。

　さて、No.6の末尾にある
●g(n,m) = f(0,n,m)
という関数は、言うまでもなく引き算を表しています。
n-m = f(0,n,m)
　これは、まだ「数を逆順に数える」という能力がない子供のやる引き算なんです。たとえば3-1をやるとき、「３のひとつ前は２」という訳には行きません。ではどうするか。
　まず、指を１本出します。そして、これにあと幾つ指を追加すれば３本になるか、というのを数えるのです。つまり「（指１本出す）１（と唱えて指２本にする）２（と唱えて指３本にする）」とやる。で、最後に唱えた数、「２」が答です。
3-1 = f(0,3,1)
=f(s(0),3,s(1))= f(1,3,2)
=f(s(1),3,s(2))= f(2,3,3)
=2
　この場合には、f(n,m,k)のnが、「幾つ指を追加したか」を数えるカウンターです。f(n,m,k)のmは、「指が幾つになったら終わりか」という情報の記憶であり、変化しません。そしてf(n,m,k)のkが「出してある指の数」を表しています。

　なお、当然のことながら、n<mの場合に
n-m = f(0,n,m)
をやると、いつまで経っても終わりません。だから、この関数の定義には手抜きがあるんです。手抜きしないためには、大小関係 < を導入する必要がある。そして、さしあたって足し算には大小関係は必要ないので省いたのです。
　これは裏返せば、「数の大小が判別できる」ということが「自然数の引き算」の前提になっている、という事情を表しています。

お礼

すみません、返事を書こうと思ったんですが、数学の知識がないので回答を見て自分なりに考えてるうちに、tgbさんとstomachmanさんのバトル？見たいな感じになってしまって入り込めませんでした。どこまでを暗黙の了解で(カウンターのようなものとか)つかって良いのかの判断ができないし、照明が正しいのかどうかよく分かりません。とりあえず、ありがとうございました。