z^5=1の虚数解が異なることを示すとは

質問

閲覧ありがとうございます。拙い質問で恐縮ですが、よければお付き合い下さい。

方程式z^5=1のの虚数解の1つを‪α‬とするとき‪α以外の相異なる3つの虚数解は‪α‬^2,‪α‬^3,‪α‬^4に等しいことを証明せよ

という問題があり、回答に
‪α‬^2,‪α‬^3,‪α‬^4がz^5=1の解であることを証明したあと、
‪α‬^k=‪α‬^l (1≦l＜k≦4) とすると、 ‪
α‬^(k-l)=1‬ (1≦k-l≦3)
これは、‪α‬がz^5=1の解であることに矛盾する。
以上から、‪α‬,‪α‬^2,‪α‬^3,‪α‬^4は全て相異なる。

との記述があったのですが、‪これは証明においてどのような意味があり、何が矛盾しているから相異なる虚数であると言っているのでしょうか？

回答よろしくお願い致します。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

＞ ‪α‬^2,‪α‬^3,‪α‬^4がz^5=1の解であることを証明したあと、

この段階で、α , α^2 , α^3 , α^4 の4つは方程式「z^5 = 1」の解の集合にすべて含まれていることがわかります。

しかし、この段階で
「方程式 z^5 = 1 の解は 1 , α , α^2 , α^3 , α^4 の5個である」
と結論づけることはできません。
なぜなら、「この5個の中にじつは同じ値のものがあって、その重複を取り除くと、本当は5個あるはずの方程式の解のうち4個以下しか列挙できていない」
という可能性を否定できないからです。

そのため、この5個の値がすべて異なることを確認して
「五次方程式の解は5個であり、この5個の値はすべて異なるので、この5個の解ですべての解を過不足なくカバーできている」
と結論づけています。
これが証明における「異なるので」の意味です。

‪5個の解のうち、すぐに実数解とわかる z = 1 を除いた4個（α , α^2 , α^3 , α^4）がすべて異なる数であることを示すために
「どの2個の差をとっても0に等しくならない」
ことを計算で確認しています。
たとえば、もし α^2 と α^4 が等しい値であったと仮定すると
α^4 ÷ α^2 = 1
α^2 = 1 …①
という等式が成立することになりますが、αは「5乗してはじめて1と等しくなる数」と分かっているため、①は誤った式です。よってα^2 ≠ α^4 といえます。
同様の計算により、α , α^2 , α^3 , α^4 はすべて異なる数であると示せます。
これが「相異なる数である」という説明の具体的な中身です。

回答No.1

notnot

> これは、‪α‬がz^5=1の解であることに矛盾する。
は、正確には、「α‬がz^5=1の虚数解であることに矛盾する。」でしょう。

α‬^(k-l)=1‬ (1≦k-l≦3) は、言い換えると α‬ = 1 または α‬^2 = 1 または a^3 = 1ということですね。
α‬ = 1 または α‬^2 = 1 なら、α‬ は 1か-1なので上記に矛盾します。
α^3 = 1 なら、α^2 を掛けて α^5 = α^2 で左辺は1なので α ^ 2 = 1でこれも上記に矛盾します。

したがって、α‬^k=‪α‬^l (1≦l＜k≦4) になるような l と k は存在しないことになり、α‬^2,‪α‬^3,‪α‬^4 は相異なります。