虚数を累乗の値にする方程式の解き方

質問

お世話になっております。次の基本的な問題について質問です。

問「方程式　z^2=1+√(3)iを解け」

まず一つ分からないのが、実数係数の一元方程式の流れから、n乗が虚数の方程式の解もn個の解を持つ事は成立つのかどうか、ということ。

例えば、二乗ならば
z^2=α(α=虚数)に対して、z=±√α なんてことは成り立つかどうか、みたいな疑問です。二重根号使う例が見当たらないので、多分無いのかなぁと感じますが……

z=r(cosθ+i・sinθ) とおく時、ド・モアブルより、
z^2=r^2(cos2θ+i・sin2θ)…(1)
が言えますが、与式からz^2を極形式
z^2=2(cos60゜+i・sin60゜)…(2)
で表す時、(1)(2)から、r=√2、2θ=60゜ とおくのは間違いでしょうか？

色々御託を並べてしまいましたが、結局この問題の解き方がよう分からないということでありまして、ザックリとでも良いのでご助言いただけると有り難いです。宜しくお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

（1）(2)から

r^2(cos2θ+isin2θ)=2(cos60°+isin60°)

となります．ここまではよいです．

さてこの方程式は両辺の絶対値と偏角が等しいことを表します．

絶対値：r^2=2

r≧0よりr=√2となります．

問題は次です．両辺の偏角をm,nを任意の整数として，

2θ+360°×m=60°+360°×n

2θ=60°+360°×(n-m)

通常一つの整数kを用いて

2θ=60°+360°×k

とします．2で割って

θ=30°+180°×k

さて偏角は無限にあってもz=r(cosθ+isinθ)の表す値は有限個しかないのです．なぜなら，θのいくつかの値が360度の整数倍の差があればこれらはただ一つのzしか与えないからです．それはcosθとsinθの周期が360°であることによります．したがって，θは0°以上360°未満（一周分ならα以上α+360°未満でもよい）で考えればよいのです．

0°≦30°+180°×k<360°0≦1/6+k<2
-1/6≦k<11/6
k=0,1

よってθ=30°,210°となり，2θ=60°だけから出てくる1つθ°=30°だけではないのです．zの計算は任せます．

※このように考えると，z^n=α=ρ(cosφ+isinφ)の解も

絶対値：r^n=ρ
偏角：nθ=φ+360°×k

となり，

r=ρ^{1/n}
θ=φ/n+360°×k/n (k=0,1,・・・,n-1)

のようにz^n=αの解はα≠0なら異なるn個の解があります．

お礼

ご回答ありがとうございました。No.1様のご回答で、正弦と余弦が2π周期の関数であることから、0≦偏角＜2πで良かろうかとは思ったのですが、その綺麗な式には結び付きませんでした。

解説も丁寧で分かりやすかったです。また何処かでお世話になるかも知れませんがその時は宜しくお願いします。また、No.1様もありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

書いてあることは, ほぼ全部 OK です.

まず, 複素係数 n次代数方程式は重解を含めて n個の解を持ちます (代数学の基本定理). んで, z^2=α なら z = ±√α です... っていうか, これほぼ「√α の定義」だけどね. ただ, そんな答は求めてないと思う.

最後もだいたいそんな感じです. もう 1つあるけど.

お礼

ご回答ありがとうございました。
多分その「もう一つ」が見出だせていないのでしょう。もう少し頭を使います。一つ目の疑問が解決したのはありがたい事でした。