条件と答えの矛盾

質問

問題を解いていて思ったのですが、
まず大前提になる条件があるとして、それをもとにして式を組み立てて解いていったにも関わらず、その条件に矛盾する答えが出てくることがあるのはなぜなのでしょう？

例えば
xが実数の範囲で、次の方程式を解きます
x^4+3x^2-10=0
x^2=tとおきます（この時点で、t>0は絶対です）
t^2+3t-10=0
(t+5)(t-2)=0
t=-5,2
となり、この場合t=-5はt>0に矛盾するので不適。よって‥

となりますが、
最初のxの方程式がx=実数という条件のもとに成り立っていて、その方程式を解いているはずなのに、t=-5という解（不適なので解とは呼ばないかもしれませんが）が出てくるのしょうか？
気になります。
ヒントだけでもお答え頂けると嬉しいです。

回答No.4

postro · ベストアンサー

もう少し単純な例題です
ｘが整数の範囲で次の方程式を解く
2x^2-3x+1=0
因数分解すると
(x-1)(2x-1)=0
x= 1/2 は不適（整数ではない）、よって
x=1
この問題文を別な言い方をすると
「解は整数以外にもあるかもしれないが、それは求めなくて良い、整数解のみ求めよ」
ということでしょう。

元に戻って
xが実数の範囲で、次の方程式を解く
x^4+3x^2-10=0
問題文を別な言い方をすると
「解は実数以外にもあるかもしれないが、それは求めなくて良い、実数解のみ求めよ」
というわけで、
途中でx^2=t=-5 が出てきたのは、これは虚数解になるので求めなくて良い。
ということでしょう。
矛盾という言葉を使っておられますが、「矛盾」とはちょっとニュアンスが違うように感じます。

お礼

回答ありがとうございました。
最初に与えられている条件はその後の式に反映されているわけではなく、求められた解の範囲を限定する情報になるということですね。
確かに、矛盾とはちょっと違うようですね‥（＾＾；）
ありがとうございました。

回答No.5

Trick--o--

お母さんにお使いを頼まれました。
「このお金で、リンゴかミカンを買ってきて」
（→解の範囲を限定）
八百屋さんに行くと、預かったお金で買えるのはミカンとブドウだけでした。
（→範囲内の解と範囲外の解がある）
買わなければいけないのはリンゴかミカンなので、ブドウは不適。
（→範囲外の解は考えない）
よって、買って帰るのはミカン。

微妙な喩えだな……

お礼

回答ありがとうございました。
最初の条件は結果を限定するものであって、結果を出す過程でそれに当てはまらないものが出てきてもおかしくないということですね。身近な例えでわかりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.3

rabbit_cat

同値関係をしっかり追っていくと、
・x^4+3x^2-10=0 かつ
・xが実数
は、
・x^2=t かつ
・t^2+3t-10=0 かつ
・t>0
と同値です。

・x^2=t かつ
・t^2+3t-10=0
だけだと、必要条件にはなっていますが、十分条件にはなっていません。

確かに
＞（この時点で、t>0は絶対です）
なわけですが、その情報が、この式変形の後では失われてしまうわけです。なので、別にちゃんと覚えておかないといけません。

お礼

回答ありがとうございました。
t>0はtの方程式を解いて得た必要条件を十分条件にするための情報だったわけですね。ありがとうございました。

回答No.2

eatern27

>x^2=tとおきます（この時点で、t>0は絶対です）
であるにも関わらず

>t=-5,2
この段階では、t≧0の条件を考えていないからでしょう。

つまり、t^2+3t-10=0とt≧0の2つの条件があるのに、
前者の条件しか考えなければ、余分な解が出てくる(可能性がある)のは当然といえば当然かと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
t>0の条件のもとでtの方程式が成り立っていると思い込んでいましたが、そうではないのですね。ありがとうございました。

回答No.1

noname#21219

t^2+3t-10=0という、tについての2次方程式であれば、
解は式の構造的にt=-5,2の二つの実数しかありません。

ですが、x^4+3x^2-10=0は、複素数の解も含むのですよ。
因数分解すれば(x^2＋5)(x^2-2)=0ですから
(x＋√5i)(x-√5i)(x＋√2)(x-√2)=0です。
『xが実数の範囲でとく』というのは、
「解として、複素数も出てくるが、あとで
実数の解だけ採用しよう」という約束事
にすぎません。解を求める過程では、複素数
の解もどうしても出てこざるを得ません。

お礼

回答ありがとうございます。
どうやら条件が反映される段階を勘違いしていたようです。
明確な回答でわかりやすかったです。ありがとうございました。