包絡線がわかりません

質問

「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの２次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの２次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの２次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。

回答No.1

newtype · ベストアンサー

s-wordさんのやっているのは逆の対応の概念による解法です。ｔの存在条件から包絡線の接点を考える解法です。その解法は実は非常に経験的な解法で私はあまり美しい解法であると思いません。そこでｔを直接動かすわかりやすい解法をお教えしましょう。そこらの凡庸な予備校講師では真似の出来ない解法であると思います。

＜解＞
ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2…（１）の両辺をｔで微分すると、
０＝２ｘ－２（ｔ＋１）
よって、ｘ＝（ｔ＋１）で包絡線Ｃに接する。
また接点ｙ＝２ｔ（ｔ＋１）－（ｔ＋１）^2　
　　　　　＝ｔ^2－１
よって、直線（１）は接点（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）で包絡線Ｃに接しつつ動く。
これより、Ｃ：ｙ＝(ｘ－１)^2－１＝ｘ^2－２ｘ
接線（１）はいつも曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘの下側を接しつつ通るので、
求める領域は「ｙ≦ｘ^2－２ｘ」

＜解説＞はこれから書くので待っててください。

回答No.16

newtype

さてリタイアする前に今度は平方完成による解をやっとこう。
＜解＞
ｔについて平方完成する。
ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）2
＝－（ｔ－ｘ＋１）^2＋（ｘ－１）2－１
＝－（ｔ－ｘ＋１）^2＋ｘ^2－２ｘ≦ｘ^2－２ｘ（等号成立はｔ＝ｘ－１⇔ｘ＝ｔ＋１のとき）

これは直線ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）2 が曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘの下方を接点ｘ＝ｔ＋１で接しつつ動くということに他ならない。
よって領域は、ｙ≦ｘ^2－２ｘ

まあ受験数学ではこんなもんかな。問題によって平方完成や微分でによる方法では解けない問題もある（らしい）が別に気にしなくてもよいし、そのときはこのコーナーで質問すればよい。しかし後継者として回答するのも忘れないように。自分だけ回答してもらうのはズルイからね。

以上。

お礼

＞問題によって平方完成や微分でによる方法では解けない問題もある（らしい）が別に気にしなくてもよいし、そのときはこのコーナーで質問すればよい。しかし後継者として回答するのも忘れないように。自分だけ回答してもらうのはズルイからね。

かのページにもありましたが、平方完成もかなり役立つんですね。４次の微分の共通接線のところで以前教わったことがあるんですが、ここでもその考え方が使えるんですね。まず微分してみて、そのあとに平方完成してみようとおもいます。何度もお返事していただいて、newtypeさん、stomachmanさんどうもありがとうございました。そろそろ閉めたいと思います。

初めここにきたときは「みんなの質問に、みんなで答える、Q&Aサイト！！」なので、自分でもできれば解答していこうと思っていましたが、正直他の方々の解答をみると、自分がちっぽけな存在に思えて、いつの間にか、質問するだけでいいやと思うようになっていました。でも今思えば、私でも答えられそうな中学生や高校一年生の質問もあったような気がするので、もし見つければ積極的に解答していきたいと思います。間違ってたら他の方々がフォローしてくださるだろうし(^^) しかし後継者になるにはまだまだ修行が足らないと思うのですが。

回答No.15

newtype

＞x,yはtと無関係？x,y,tをそれぞれ好きな値にして
　　y=2tx-(t+1)^2
が成り立つ訳じゃないでしょう？あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう？
おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。　No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

「ｘ，ｙはｔと無関係」なのではなく、「ｘ，ｙとはｔと無関係」である。
言い換えると変数と任意定数とは無関係である。

さらに言い換えると、
Ｐ：（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）…（代入してあっという間に接点ｙもまとまる）
なので接点Ｐ：（ｘ，ｙ）はｔを媒介変数として表わされる。
しかしｔは（ｘ，ｙ）で表わせられない。
｛ｔ＝ｘ－１，ｔ＝±√(ｙ＋１)というように別々には表わせられるがｔ＝f(x,y)とは表わせられない。｝

故に接点（ｘ，ｙ）とｔは無関係である。

そもそもＮＯ4で下記のように書いてあります。
変数…１方が１つ決まると他方も１つ決まる、つまり「伴って変わる」
２つ１組の数。
y=f(x)で言うとyが従属変数、xが独立変数という。

定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数（パラメータ、y=axのaなど）
「伴わないで変わらない」…与えられた定数（y=2x）

任意定数∋媒介変数であって、任意定数の意味は媒介変数だけではない。
ここを間違ってはいけない。

では説明しよう。
「任意定数∋媒介変数」かつ「変数≠任意定数」
⇒変数≠媒介変数

以上と言いたいところだがさらに問題文に戻って説明しよう。
実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ

実数ｔを決めれば直線が決まる。
逆に（ｘ，ｙ）の変数の組みを決めればそれらに対応する実数ｔが存在する。
ｘだけ決めただけではだめだ。stomachmanさんが「x,y,tをそれぞれ好きな値にして 」というのはここでだめというのがここでわかる。

つまりどういうことかというと私の表記ミスで～す。やっちまったッピー。
ＮＯ2の「つまり、ｘ，ｙはｔとは無関係だから、」を以下のように直してください。
「つまり、ｘ，ｙの変数の組みはｔとは無関係だから、」

これで完璧ズラ。

お礼

＞「ｘ，ｙはｔと無関係」なのではなく、「ｘ，ｙとはｔと無関係」である。
言い換えると変数と任意定数とは無関係である。

ご回答してくださって、どうもありがとうございます。はい、私もnewtypeさんにそのように教えていただいて理解しました。

回答No.14

stomachman

x,yはtと無関係？
x,y,tをそれぞれ好きな値にして
　　y=2tx-(t+1)^2
が成り立つ訳じゃないでしょう？
あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう？

おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。　No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

二本の直線
　　y=2tx-(t+1)^2
　　y=2(t+δ)x-(t+δ+1)^2
の交点を<x[δ],y[δ]>とする。
より正確には、
L[t] = {<x,y> | y=2tx-(t+1)^2}
とするとき、
{<x[δ],y[δ]>} = L[t] ∩ L[t+δ]
です。
つまり連立方程式
　　y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2
　　y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
の解が<x[δ],y[δ]>である。
そしてδ→0としたときの交点、すなわち<x[0],y[0]>は包絡線上にある（なぜ包絡線上に来るかは、ここでは＼(^^＼) (／^^)／置いといて）。

　具体的に解いてみましょう。y[δ]を消去して
2tx[δ]-(t+1)^2 =2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
移項して
0 = 2δx[δ]-2δ(t+1)-δ^2
よって
x[δ] = (t+1)+δ/2
y[δ] =2t((t+1)+δ/2)-(t+1)^2 = ｔ^2+δt-1
です。そして
<x[0],y[0]>＝lim {δ→0} <x[δ],y[δ]>
ですから、
x[0] = t+1
y[0] = t^2-1

ちょっとやり方を変えてこの計算をしてみましょう。
　　y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2
　　y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
差を取ると
　　0 = 2δx[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)
両辺をδで割ると
　　0 = 2x[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ
δ→0の極限を取ると
　　0 = 2x[0] - lim{δ→0}((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ
このlimの中身は d((t+1)^2)/dt に他なりませんから
　　0 = 2x[0] - d((t+1)^2)/dt
この微分を計算すると
　　0 = 2x[0] - 2(t+1)
かくて
x[0] = t+1
を得ます。

これがNo.2の方法で旨く行っちゃうからくりです。

お礼

＞おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。　No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

なるほど、区別するとこうなるのですね。お返事どうもありがとうございます。なるほど、そういうことだったのですか、わかりました。どうもありがとうございました。

回答No.13

newtype

＞回答に対するお礼
stomachmanさんがnewtypeさんのご説明にご意見されていますので、もう一度寄ってご意見をお願いできますか。

非常に情けないんですが私の回答が本質的に違うのか、それとも表現的に違うのか、それとも両方とも違うのか…これらのうちどれかもよくわかりません。
可能ならば忠恕のお心持ちでお教え下さい。

だいたい下記のことについて意見されているということぐらいはわかります。
つまり、ｘ，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して、ｘ＝ｔ＋１…（あっという間に接点ｘが求まる）
よって、
Ｐ：（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）…（代入してあっという間に接点ｙもまとまる）
しかし代入せずにｙを残すようにしてｔで微分したときも同じ結果が得られます。
だから本質的に間違っているとは思えないんですよ。

お礼

＞非常に情けないんですが私の回答が本質的に違うのか、それとも表現的に違うのか、それとも両方とも違うのか…これらのうちどれかもよくわかりません。

再び足を運んでいただいてどうもありがとうございます。
私もどう違うのかあまりわからなくて困っていました。newtypeさんが御説明していただいたときはスゴイ解法だと思って、今拝見しても別に問題はないような気がします。
stomachmanさんが御返事をされておられるようなのでそちらの方も拝見してみます。ありがとうございました。

回答No.12

stomachman

あれれ？newtype氏はリタイヤですか？もっと笑わせて欲しいけどな。

●No.5は手抜きしました。すいませんね。
dtはd×tじゃないんです。
　x=d((t+1)^2/2) / dt
ってえのは、
　x= 「((t+1)^2/2)をtで微分したもの」
って意味です。
「y=2tx - (t+1)^2 と y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2 の交点は、dt→0としたとき包絡線上に来る。」と表現すれば良かったです。
　実際に包絡線を描いてみるとこのへんの事情が腑に落ちると思います。たとえばグラフ用紙と定規と鉛筆を用意して
　<t,0>と<0,100-t>を通る直線 （0＜t＜100)
を描いてみてはどうでしょう。初めはtを10mm刻みで、それから5mm刻みで、...

●どうやら微分を使う意義の理解にちょっと怪しいところがおありかと思います。もしそこのところをすっ飛ばして公式だのテクニックばかりに注目なさるならば、それは受験数学です。そして、ご質問は受験数学からの脱却を目指していらっしゃるように思われる。（でなきゃ、回答付けません。）

●練習問題をやってみましょう。
「問：x,yは実数とする。曲線 y =(x+1)^2の極値を求めよ」

×「こたえ：
　y=x^2 の両辺をxで微分して、
　0=2(x+1)　＜＝＝＝（ここが間違い。yは定数ではないので両辺をxで微分すると、正しくはdy/dx=2(x+1)）
これを解いて x=-1
　y=(x+1)^2　に代入して　＜＝＝＝＝（ここが間違い。代入すれば答が出るという根拠がありません。）
　y=0」
これ間違いです。まぐれで答が合っただけ。どこがまぐれって、曲線の表現がy=(yを含まない式）の形をしていたのと計算間違いとが重なって丁度旨くいった。正しくは以下のようです。

○「こたえ ：
極値は dy/dx=0　が成り立つようなxにおけるyの値である。
だから方程式
　dy/dx=0
を満たすx（つまり集合{x|dy/dx=0}）を求めたい。そこでまず、dy/dxをxだけで表した式を求める。
　＊このために　y=(x+1)^2 　の両辺をxで微分すると、
　　dy/dx=2(x+1)
　　となり、dy/dxをxだけで表した式が得られた。＃
　　（＊から＃までは、曲線がどんな式で与えられているかによってやり方を色々工夫する必要があります。）
よって、方程式　dy/dx=0　は
　2(x+1)=0
と書ける。これを解いて x=-1　（つまり{x|2(x+1)=0} = {-1}）
従って、x=-1のときにだけ、dy/dx=0 になる。
x=-1のときの y=(x+1)^2　の値を求めると、 y=0」

これならオッケー。違いがお分かりでしょうか？

曲線 y = (x+1)^2 の両辺をxで微分した
　dy/dx = 2(x+1)
と元の曲線との関係はどうなってるか。
　y=(x+1)^2 ⇒ dy/dx = 2(x+1)
つまりy = (x+1)^2 が成り立つなら必ずdy/dx = 2(x+1)である。
しかし「dy/dx = 2(x+1)が成り立つなら必ずy = (x+1)^2 である。」とは言えません。
実際、　y=(x+1)^2+1　も　dy/dx = 2(x+1)　を満たします。一般に
　y=(x+1)^2+定数 ⇔ dy/dx = 2(x+1)
言い換えれば「微分方程式 dy/dx = 2(x+1)の一般解は y=(x+1)^2+定数」 です。

練習問題のこたえ（○の方）ではまずdy/dx =0となるxを求めています。
　dy/dx = 2(x+1)
であるようなどんな曲線でも、「dy/dx =0となるx」はx=-1ですから、
　y=(x+1)^2+1
の極値もやはり、x=-1の時のyの値である。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞「こたえ：
　y=x^2 の両辺をxで微分して、
　0=2(x+1)　＜＝＝＝（ここが間違い。yは定数ではないので両辺をxで微分すると、正しくはdy/dx=2(x+1)）

についてなのですが、
newtypeさんのNO,2を引用させていただくと、

＞x，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して、ｘ＝ｔ＋１…（あっという間に接点ｘが求まる）

はあっているんですよね。これを代入するのに問題があるんですよね。

＞実際、　y=(x+1)^2+1　も　dy/dx = 2(x+1)　を満たします。一般に
　y=(x+1)^2+定数 ⇔ dy/dx = 2(x+1)
言い換えれば「微分方程式 dy/dx = 2(x+1)の一般解は y=(x+1)^2+定数」 です。

なるほど、不定積分は積分定数Cが出てくるのですね。必要十分ではないんですね。

回答No.11

newtype

＞すいません、接線を動かして、領域を書いて終わりではいけないのでしょうか。何をされているのかわからないのですが。-1<x<1のときの曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘの接線を動かせば良いんですよね。すいません、何度もお手を煩わせてしまって申し訳ないのですが(^^:)

良いです。どうやら取り越し苦労だったみたいだ。
さらばだ。うぬに教えることはもう何もない。あとはラ○ウの血がうぬを進むべき道に導くだろう。これからは私の後継者としてうぬがこのコーナーで回答するのだ。頼んだぞ。

以上。

お礼

stomachmanさんがnewtypeさんのご説明にご意見されていますので、もう一度寄ってご意見をお願いできますか。

回答No.10

newtype

s-wordさん、まず最初の質問ですが私が書いたＮＯ２を見てください。直線の方程式から導いてるので関係大ありです。絶対疲れてるね。キュー○ーコー○○ー○○Ａを飲むか、薬用養○酒飲んで疲れを癒してください。

次に、あのページを参考するのはよいとして真似してはいけません。私の回答をご覧になってください。さて今回の問題で０≦ｔ≦１という条件がついたらどういう領域になるでしょう。
「直線Ｌはｘ＝ｔ＋１で曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘに接しつつ動く。」
と導けたのだから、図を書いて接点ｘ＝１（ｔ＝０）での接線、接点ｘ＝２（ｔ＝１）のときの接線を曲線Ｃといっしょに書く（接していることに注意）。後はｙ＝ｘ^2－２ｘの１＜ｘ＜２における接線を考慮して（動かして）領域を「視察」で求めればよい。

ちなみに領域は一瞬で求まったが、式で表わすのは以外と面倒だ。でも慣れればこちらの解法の方が直感的で求めやすいね。
＜解＞
ｘ＜１のとき、ｙ≦－１かつ２ｘ－４≦ｙ
１≦ｘ＜３／２のとき、ｙ≦ｘ^2－２ｘかつ、２ｘ－４≦ｙ
３／２≦ｘ＜２のとき、ｙ≦ｘ^2－２ｘかつ、－１≦ｙ
２≦ｘのとき、－１≦ｙかつ、ｙ≦２ｘ－４
合ってる？

像に準じてやると領域を求めるのは簡単だが式を表わすのに一苦労。
逆写像の概念から考えると領域を求めるのは難しいが式は簡単似求められる。
stomachmanさんではないが問題によってどっちか答えやすい方を考えた方がよいということ。
以上

お礼

＞s-wordさん、まず最初の質問ですが私が書いたＮＯ２を見てください。直線の方程式から導いてるので関係大ありです。絶対疲れてるね。キュー○ーコー○○ー○○Ａを飲むか、薬用養○酒飲んで疲れを癒してください。

すいません、特に疲れているようには感じないのですが、見えないところでたまっているかもしれませんね。親父に薬用養○酒をもらって飲もうと思います(^^)。
文型なので、微分の導き方をすっとばしていつも公式ポンをしているので、いまいち関係性がつかめませんでした。確かにnewtypeさんがお返事していただいたＮＯ２をよく見て、微分の過程をよく見ると、互いの式は密接に結びついているように思えました。同時に微分する必然性も見えてきました！

＞ちなみに領域は一瞬で求まったが、式で表わすのは以外と面倒だ。でも慣れればこちらの解法の方が直感的で求めやすいね。
＜解＞
ｘ＜１のとき、ｙ≦－１かつ２ｘ－４≦ｙ
１≦ｘ＜３／２のとき、ｙ≦ｘ^2－２ｘかつ、２ｘ－４≦ｙ
３／２≦ｘ＜２のとき、ｙ≦ｘ^2－２ｘかつ、－１≦ｙ
２≦ｘのとき、－１≦ｙかつ、ｙ≦２ｘ－４
合ってる？

すいません、接線を動かして、領域を書いて終わりではいけないのでしょうか。何をされているのかわからないのですが。-1<x<1のときの曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘの接線を動かせば良いんですよね。すいません、何度もお手を煩わせてしまって申し訳ないのですが(^^:)

回答No.9

newtype

gooで調べた結果、下記ページがありました。その考え方４を見てください。
そこに私が示した微分を使う解法が載っています。
微分を文字を動かす道具ととらえています。（これも私が示しましたね）
残念ながらそれ以上のことは載ってなく、なぜそうやっていいのかが載っていません。受検テクニックなどと表現していますが、技法を真に理解していなければそれらを使ってはいけないということがどうもわかってないようだ。
もしその技法が正しくなかったとしたら？この疑問に答えるためにも、過程を正しく記載しなければならない。
s-wordさんには単なる受検テクニックの話をしているのではないので、下記ページはあくまで「参考」にしてくれたらいいと思います。その後に私のところを読んでいただければいいと思います。

ちなみにs-wordさんが書いた以下のところなんですが、
「問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると」

これは平方完成を使った解法の質問ですね。大学への数学 数学ショートプログラムという本に載っています。この解法はこねくり回している様であまり好きにはなれません。ちゃんと理解すると簡単なのかもしれませんが、最初に習ったのが「微分」による解法なんでこのやり方を飛ばしました。だから出来ません。下記ページを見てください。
またstomachmanさんが微分による解法ではできない問題を出していますが、私が知る限り受検でこのような問題が出ることはなかったと思います。もしこのような問題が出て、いろいろ解法を試してみて出来なかったらあきらめましょう。

以上

参考URL：

http://www.e-t.ed.jp/edotori39021/2bu-kan29.htm

お礼

お返事ありがとうございました。早速いってみました。いろいろな解法があるんですね。今まできっちり系統だって学習していなかったものが体系的になっていたのでつながってきました。どうもありがとうございます。他にも勉強になる問題が、たくさんあるので、ひととおり見てみようと思います。

「ｙ＝２ａｘ＋１－ａ^2・・・　(1)を　ａについて整理すると、ａ^2－２ｘａ＋ｙ－１＝０　　　
両辺をａについて微分すると、２ａ－２ｘ＝０　　　　　∴　　ａ＝ｘ
これを直線の方程式に代入して、ｙ＝２ｘ^2＋１－ｘ^2＝ｘ^2＋１　　(2)　　　　　
ここで(1)(2)より、ｙを消去すると、２ａｘ＋１－ａ^2＝ｘ^2＋１
ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2＝０，（ｘ－ａ)^2＝０,
∴ｘ＝ａ（重解）
よって、(1)(2)は、ｘ＝ａで接することがわかる。
また、０≦ａ≦１より、０≦ｘ≦１の範囲で接している。
よって、求める領域は、図の影の部分（境界を含む）」

長くなりましたが、少し気になったことがあるので質問させてください。微分前の式と微分後の式ではその関係性が保たれているので、微分して出てきたａ＝ｘを(1)に代入できると思うのですが、なぜ微分してもその関係性が保たれているのかがピンときません。全く違う式なので理解できないのですが。それと、「０≦ａ≦１より、０≦ｘ≦１の範囲で接している。」の部分なのですが、これはx=aから導かれてきたと考えて良いのでしょうか。すいませんよろしくお願いします。これからもう一度書き込んでいただいた内容を振り返ってみたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.8

stomachman

No.7に関するご質問の意図がもうひとつよく分からないんですが…

>「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
>「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。
> -------------
> ここについてなのですが、上の式をどうやったら下の式になるのでしょうか。
> ２つの式の関係がわかりません。

もちろん両者は無関係。前者はNo.1の解法がそのままでは旨く行かない例として挙げた問題であり、後者はご質問の問題です。２つの問題の間には何の関係もありません。

> 問題にしているのはどの直線なのでしょうか。

厳密に言えば、問題にしてるのは直線じゃなくて関数
f(x,y,t) = 2tx - (t+1)^2 - y
ですね。

> それと、２本の直線がどうやって出てきたのかわかりません。

tを定数であると考えれば
y=2tx - (t+1)^2
を満たす<x,y>の集合は一つの直線です。
また微少量dtを使ってtをt+dtで置き換えた式（t+dtを定数と考えて）
y=2tx - (t+1)^2
を満たす<x,y>の集合もまた一つの直線です。これら２本の交点が包絡線上にある。

どんなtについても同じようにして（包絡線上にある）交点が求められ、従って包絡線上にある点の集合が得られます。

お礼

ご回答くださってどうもありがとうございます。すいません、何度もお聞きして申し訳ないのですが、

＞直線の場合、交点は高々１個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、２本の直線
y=2tx - (t+1)^2
と
y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
の交点は包絡線上にある。この交点を求めると
2tx -2(t+dt)x = (t+1)^2- (t+dt+1)^2
従って
<x,y> = <((t+dt+1)^2 - (t+1)^2 )/(2dt), 2tx - (t+1)^2>
がその交点です。交点のx座標はx=d((t+1)^2/2) / dt になってる。

ここから、どうやってｄとｔを消去して、y=(xの式）のようにするのでしょうか。tだけだったら普通にやればよいと思うのですが、２文字あるので、どうやって包絡線を求めればよいのかよくわかりません。

回答No.7

stomachman

「判別式の結果から、経験的に放物線を思い浮かべて」或いは定石だの逆のナンとかだの、そういった受験数学テクニックの話をなさっているのであれば、以下無視してください。

一般に
「f(x,y,t)=0　を満たす実数tが存在するような、実数の対<x,y>の集合Aを求めよ。」
と言われれば、問題文そのまんま、
A = {<x,y> | ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) }
で答になってる訳ですが、さらに「Aを媒介変数tを使わないで(x,yだけで)表せ。」と注文されている訳です。要するに「tを消去せよ。」ということ。
　tをある値に固定したときにf(x,y,t)=0が曲線や直線になっている、というのは問題の本質から言えばどうでも良いことです。
　例えば「yを固定してA(y) = {x| ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) }を求める」というやり方でも構わない。
　包絡線で囲まれた領域がAであるなら、No.5でご紹介した方法で包絡線を求めるのも良い。
　まあ、好き勝手に攻めれば良いので、そうでなくては面白くも何ともないじゃありませんか。

tによる微分が全く無力である一例として
f(x,y,t) = x/y - [t]
は如何でしょう。ここに[t]は「tを越えない最大の整数」です。

お礼

「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。
-------------
ここについてなのですが、上の式をどうやったら下の式になるのでしょうか。２つの式の関係がわかりません。

－－－－－－－－－－－

　さて、問題にしている曲線がもし
(a) どこかで必ず包絡線と接していて、しかも
(b) パラメータtを微小に動かしたときにその交点も微小に動くのであれば、
パラメータtで決まる曲線とパラメータt+dt (dtは無限小)で決まる曲線との交点のうちの一つは包絡線上にあります。
　直線の場合、交点は高々１個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、２本の直線
y=2tx - (t+1)^2
と
y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
－－－－－－－－－－－
問題にしているのはどの直線なのでしょうか。
それと、２本の直線がどうやって出てきたのかわかりません。すいません、よろしくおねがいします。