包絡線について質問です。よろしくお願いします。

質問

こんにちは。実は、手元にある参考書（大学への数学）
に包絡線（？）についての問題があるのですが、さっぱり理解できません。。。
答えも乗っていないので、どう考えたらいいかもわかりません。
以下、全文を載せます。

例１　a,bは実数である。tの方程式ｔ＾２－2at＋b－1が０小なりt小なり１を満たす実数解を
少なくとも２つ持つとき、点（a,b）の存在範囲を図示せよ。

です。もう一問あって、

例２　実数tが０小なりt小なり１で動くとき、xy平面の直線lt：y=2tx-t^2+1が通過する領域
を求めよ。

です。両方とも考えたのですが、よくわかりません。解法など示して頂けたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

例１＞
f(t)=t^2-2at+b-1=(t-a)^2+b-1-a^2からこの二次曲線は
(a,b-1-a^2)を極小点とし下に凸(∪)。
0＜t＜1の範囲でこの曲線がt軸と2点で交わるためには、
0＜a＜1・・・(ア)
b-1-a^2＜0・・・(イ)
f(0)=b-1＞0・・・(ウ)
f(1)=1-2a+b-1=-2a+b＞0・・・(エ)
として(ア)～(エ)を満たせばよい。
よって点(a,b)の存在範囲は、縦軸b、横軸aの直交座標系に、
直線a=1・・・(ア)
二次曲線b=a^2+1・・・(イ)
直線b=1・・・(ウ)
直線b=2a・・・(エ)
を描き、
(ア)の左側かつ(イ)の下側かつ(ウ)の上側かつ(エ)の上側の部分を
斜線などで示せばよい。なお、各線上は含まない。

例２＞
y=2tx-t^2+1
(ア)x=0のときはy=1-t^2
0＜t＜1
0＜t^2＜1
0＞-t^2＞-1
1＞1-t^2＞0・・・(あとでも使います)
よってy軸上の通過する領域は0＜y＜1・・・(1)
(イ)0＜xのときは
0＜t＜1から0＜2xt＜2x
(ア)の途中式0＜1-t^2＜1
各辺を加えて
0＜2xt-t^2+1＜2x+1
よって0＜xでy=2tx-t^2+1の通過する領域は0＜y＜2x+1・・・(2)
(ウ)x＜0のときは
0＜t＜1から0＞2tx＞2x、書き変えて2x＜2tx＜0
(ア)の途中式0＜1-t^2＜1
各辺を加えて
2x＜2tx-t^2+1＜1
よってx＜0でy=2tx-t^2+1の通過する領域は2x＜y＜1・・・(3)
以上から、実数tが0＜t＜1で動くとき、xy平面の直線lt：
y=2tx-t^2+1が通過する領域は
(ア)y軸上では0＜y＜1
(イ)0＜xでは0＜y＜2x+1、すなわちx軸と直線y=2x+1とに挟まれた
領域(x軸上及び直線上を含まず)
(ウ)x＜0では2x＜y＜1、すなわち直線y=2xと直線y=1(x軸に平行な
直線)とに挟まれた領域(両直線上を含まず)
になります。

お礼

お礼が遅くなりました。すみません。最近すごく忙しいですが、
この問題を教わったとおりに考えてみたいので、
しばらくお待ちください。

回答No.2

peppermint_moon

例２については、
lt:y=2t(x-t)+t^2+1と変形すれば、ltはy=x^2+1のx=tにおける接線であることがわかるので、
l0:y=1からl1:y=2xまでltが0<x<1の範囲で常にy=x^2+1に接するように動かした領域であることがすぐにわかります。

ここでいう、y=x^2+1が包絡線ですね。

お礼

お返事が遅くなりすみません。。。
例１は、すくなくとも１つでした。例１と例２は同じになるらしいのですが、
よくわかりません。。。
教えて頂けないでしょうか？