数学II 領域の問題

質問

数学II　領域の問題

2次関数 x^2+ax+b=0 の２つの実数解が共に-4と3の間にあるとき、点(a,b)の存在範囲を、縦軸をb,横軸をaとした座標平面上に図示せよ。ただしa,bは実数である。

標準と書いてあるんですが
私にとっては発展中の発展・・・
よろしくお願いします。

回答No.2

egarashi · ベストアンサー

y=x^2+ax+b (1)
と置きます．
(1)のグラフを描いた時に，(1)の曲線とx軸との交点のx座標が-4と3の間にあればいいんですよね？
つまり，x=-4の時とx=3の時でy≧0やったらいいわけです。
せやから，(1)においてx=-4の時，
16-4a+b≧0 (2)
また，x=3の時，
9+3a+b≧0 (3)
っていう不等式が出てきます．
それぞれ整理しときましょう．
(2)より，
b≧4a-16 (4)
(3)より，
b≧-3a-9 (5)

ただ，これだけじゃあかんのです．
今の話だけやと，
・(1)の曲線とx軸との交点のx座標がともに3以上
・(1)の曲線とx軸との交点のx座標がともに-4以下
ってのも有り得るからです．
少なくとも，二次関数(1)の頂点のx座標-a/2は-4と3の間にないといけません．つまり，
-4≦-a/2≦3 (6)
が必要なんですね．これを整理して，
-6≦a≦8 (7)
としときましょう．

これで全部…ではないです!!
そもそも，二次方程式
x^2+ax+b=0 (8)
が実数解を持っててくれんとあかんので判別式より，
a^2-4b≧0 (9)
じゃないとあかんよね？これも整理しときます．
b≦(a^2)/4 (10)

(4)，(5)，(7)，(10)をab平面上に図示して，全部カブる領域が答えになります．

「2つの実数解」って言うてるから，(9)と(10)は"＝"要らんのかな？
「異なる」とは言うてへんけど…

お礼

「異なる」とは書かれてないから
いいと思います。
ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

まず、問題の冒頭ですが、

＞2次関数 x^2+ax+b=0
とはいうのではなくて、「2次方程式 x^2+ax+b=0」というのが正しいですね。
当然、2次関数のグラフを考えることになるので、
「x^2+ax+b= f(x)とおく」とでも書いておくのがいいですね。

「２つの実数解が共に-4と3の間にある」ということをグラフを用いて考えましょう。
2次関数の特徴といえば、軸（頂点）の位置ですね。
あとは、「境界」も大事な場所です。
ということをまとめていくと
・軸の位置に対する条件
・頂点の y座標に対する条件
・f(-4)の値に対する条件
・f(3)の値に対する条件

を考えることになります。
これらから aと bに関する条件（不等式）を導き出しましょう。
あとは、b＜・・・や b≧・・・などといった形に変形して領域を図示していきます。

お礼

すいません。
2次方程式の間違いでした。
ありがとうございます。