包絡線がわかりません

質問

「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの２次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの２次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの２次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。

回答No.1

newtype · ベストアンサー

s-wordさんのやっているのは逆の対応の概念による解法です。ｔの存在条件から包絡線の接点を考える解法です。その解法は実は非常に経験的な解法で私はあまり美しい解法であると思いません。そこでｔを直接動かすわかりやすい解法をお教えしましょう。そこらの凡庸な予備校講師では真似の出来ない解法であると思います。

＜解＞
ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2…（１）の両辺をｔで微分すると、
０＝２ｘ－２（ｔ＋１）
よって、ｘ＝（ｔ＋１）で包絡線Ｃに接する。
また接点ｙ＝２ｔ（ｔ＋１）－（ｔ＋１）^2　
　　　　　＝ｔ^2－１
よって、直線（１）は接点（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）で包絡線Ｃに接しつつ動く。
これより、Ｃ：ｙ＝(ｘ－１)^2－１＝ｘ^2－２ｘ
接線（１）はいつも曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘの下側を接しつつ通るので、
求める領域は「ｙ≦ｘ^2－２ｘ」

＜解説＞はこれから書くので待っててください。

回答No.6

newtype

stomachmanさんの問題をやろう。
「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
これはもう逆の対応でやるしかない。
点（ｘ，ｙ）が題意の領域に属する
⇔点（ｘ，ｙ）についてy=x^2 + (t^2)x+t^2を満たす実数ｔが存在する。
⇔点（ｘ，ｙ）についてをy=x^2 + (t^2)x+t^2満たす実数解を持つ。
⇔ｔについて整理した　t^2（ｘ＋１）＋ｘ^2-y＝０が実数解を持つ。

ｘ＝－１のとき、ｙ＝１…（１）
よって実数解を持つ。

ｘ≠－１のとき、判別式≦０で実数解を持つ。
Ｄ＝０－（ｘ＋１）（ｘ^2-y）≦０
⇔（ｘ＋１）（ｘ^2-y）≧０

よって求める領域は
ｘ＜－１のとき、ｘ^2≦y…（２）
－１＜ｘのとき、ｙ≦ｘ^2…（３）

（２）式、（３）式と（１）式より、求める領域は、
ｘ＜－１のとき、ｘ^2≦y
ｘ＝－１のとき、ｙ＝－１
－１＜ｘのとき、ｙ≦ｘ^2

つまり問題によって解法を使い分けるということだね。
以上

回答No.5

stomachman

ご質問の問題の場合には、tが幾らであっても直線が包絡線に接していて、接点は<t+1,2t(t+1) - (t+1)^2>である。この接点の集合が包絡線です。包絡線は媒介変数tを使って x=t+1, y=2t(t+1) - (t+1)^2と書いても良いし、t=x-1ですからtを消去して y=2(x-1)x-x^2と書いても良い。
　これを改めて別の媒介変数s（ただしx=4s+3）を使って
x=4s+3, y=2(4s+2)(4s+3)-(4s+3)^2
と書いても一向に構いません。tとsは別物である。この点が混乱しているのでは？

以下蛇足ですが...

　No.3で仰っている通り、No.1の方法はおぼえるようなもんじゃありません。
なにしろさっぱり応用がききません。
「実数tが変化するとき、直線y=x + t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
という問題だったら、どうでしょう？
いやいや、元の問題の両辺にtを掛け算しただけの
「実数tが変化するとき、直線tｙ＝2(t^2)x - t(t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
ではどうですか？
相手が曲線でも手も足も出ない。例えば
「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」

　さて、問題にしている曲線がもし
(a) どこかで必ず包絡線と接していて、しかも
(b) パラメータtを微小に動かしたときにその交点も微小に動くのであれば、
パラメータtで決まる曲線とパラメータt+dt (dtは無限小)で決まる曲線との交点のうちの一つは包絡線上にあります。
　直線の場合、交点は高々１個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、２本の直線
y=2tx - (t+1)^2
と
y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
の交点は包絡線上にある。この交点を求めると
2tx -2(t+dt)x = (t+1)^2- (t+dt+1)^2
従って
<x,y> = <((t+dt+1)^2 - (t+1)^2 )/(2dt), 2tx - (t+1)^2>
がその交点です。交点のx座標はx=d((t+1)^2/2) / dt になってる。
これは（(a)(b)が成り立つなら）曲線がy=....という形で与えられていなくても言える事です。

お礼

お返事ありがとうござい増しす。

＞No.3で仰っている通り、No.1の方法はおぼえるようなもんじゃありません。

そうすると、判別式の結果から、経験的に放物線を思い浮かべて、放物線を書くということで良いのでしょうか。

回答No.4

newtype

変数…１方が１つ決まると他方も１つ決まる、つまり「伴って変わる」
２つ１組の数。
y=f(x)で言うとyが従属変数、xが独立変数という。

定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数（パラメータ、y=axのaなど）
「伴わないで変わらない」…与えられた定数（y=2x）

任意定数∋媒介変数であって、任意定数の意味は媒介変数だけではない。
ここを間違ってはいけない。

私はこのように習いました（教えてもらいました）。「いや、違うよ」という方もいると思いますが、おそらくそれは間違った指導だと思います。

次に下記ですが、
＞「f(t)=２ｔｘ－（ｔ＋１）^2 -y のようにしてから、tで微分すると、…」
「＝０」を忘れています。

私は下記のように書いていると思います。
「ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2…（１）の両辺をｔで微分すると…」
ですからｙを移項すると、
０＝－ｙ＋２ｔｘ－（ｔ＋１）^2の両辺をｔで微分すると、という風になるはず。
疲れてますね？

＞「それと、微分するというのは、ある点の傾きを調べるということですよね。これは、接点を求めることとイコールなのでしょうか。」
ｔで微分すると書きましたが、結果を見るとｔがない、つまりｔを動かしきって求める領域の式だけになりましたよね。
解法のアプローチとしてはｔの値を細かく「代入」して領域を推定することだよね。
しかし、いつまで経っても求める領域を表わすことは出来ない。それはｔが全ての実数を動くからだ。だからこの場合ｔを動かす方法としては適当ではない。
だが「微分」を使ったら全てのｔを動かせたのだ（実は平方完成でも出来る）。
これはどういうことか。つまり「微分」も文字を動かす道具ということだ。
（ある曲線の最大値を求めるという問題を思い浮かべてほしい。解くときに「代入」と「微分」を駆使している。）

逆のことやっているんだよね。
曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘの点ｘ＝ｔ＋１における接線の傾きを求める。⇔接線の方程式ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2を求める。

逆に、
直線ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2が曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘのｘ＝ｔ＋１による接線の方程式であることがわかる。

しかし後者は逆の対応による解法をやっているのではない。ｔを直接動かしているからね。これはおそらくｘで微分するのとｔで微分することの違いだと思う。
それ以上は浅学な私では答えを出すことは出来ない。ごめんね。

お礼

ご回答してくださってどうもありがとうございます。
＞定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数（パラメータ、y=axのaなど）
「伴わないで変わらない」…与えられた定数（y=2x）

今まで何もかもがごちゃ混ぜで混乱していたのですが、変数と任意定数などの違いを教えてもらえて良かったです。パラメーターも任意定数と考えれば理解がまします。

＞私は下記のように書いていると思います。
「ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2…（１）の両辺をｔで微分すると…」
ですからｙを移項すると、
０＝－ｙ＋２ｔｘ－（ｔ＋１）^2の両辺をｔで微分すると、という風になるはず。

はい、すいません、私もそう思ったのですが、「ｘ，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して・・・」のところの終わりの=f(t) が気になった物で。ちょっと混乱してきたのですが、
例えば、f(t)=3t^2 + 2t を微分すると、
f'(t)=6t + 2 になりますよね。これと、f'(t)=0を連立して、極値を求めると思うのですが、上のｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2 をtで整理して、２ｔｘ－（ｔ＋１）^2 -y =0
この方程式をf(t)とおいてf(t)=２ｔｘ－（ｔ＋１）^2 -yにしてから、微分するとf'(t)=２ｘ－２（ｔ＋１）になると思うのですが、これは、上の式とどう違うのでしょうか。f(t)を導入したことが間違えなのでしょうか。

＞逆のことやっているんだよね。
曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘの点ｘ＝ｔ＋１における接線の傾きを求める。⇔接線の方程式ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2を求める。
逆に、
直線ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2が曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘのｘ＝ｔ＋１による接線の方程式であることがわかる。

すばらしい解法ですね。感激しました。これで以降の問題も解いていこうと思います。どうもありがとうございます。

回答No.3

newtype

逆の対応による解法
点（ｘ，ｙ）が題意の領域に属する
⇔点（ｘ，ｙ）についてｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2を満たす実数ｔが存在する。
⇔点（ｘ，ｙ）についてｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2を満たす実数解を持つ。

⇔ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2をｔについて整理した、ｔ^2＋(２－２ｘ)ｔ＋１＋ｙ＝０が実数解を持つ。
⇔Ｄ／４≧０より、(１－ｘ)^2－(１＋ｙ)≧０
⇔ｘ^2－２ｘ≧ｙ

となり、この場合はこの方法でも簡単に出来る。しかしｔに制限がついた場合、判別式、軸、端点の値を考慮する必要。ＮＯ１で私が示した解は応用力があるので超おすすめなのだが無理して覚えなくても良い。

質問の意味がよくわからないんですが、この解法は別に包絡線のことを考えないで済むので悩む必要はないんじゃないですか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞質問の意味がよくわからないんですが、この解法は別に包絡線のことを考えないで済むので悩む必要はないんじゃないですか？

はい、この問題では、包絡線を考えないでよいと書いてあったのですが、仰るように「ｔに制限がついた場合、判別式、軸、端点の値を考慮する必要がある」場合は、包絡線の考え方を身につけた方が良いと書いてありました。下で御説明をしてくださったのが、一読してもよくわからなかったところがあるので、もう一度読んでみます。たしかに、私の書き込みから包絡線を考えるのは経験的な考え方ですね。

回答No.2

newtype

＜解説＞
ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2…（１）は直線の方程式であることは言うまでもないと思う。
ちょっとここで反則なことさせてもらいたい。直線（１）は曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘのｘ＝ｔ＋１での接線の方程式であることはわかるはずだ。このように直線の方程式で任意定数ｔがどこかについてあるものは必ずある曲線Ｃにある点で接するのである。私はｔを直接動かすと言ったが上記のことをふまえた上で解いているのである。
つまり、ｔを含む方程式はある点ｘ＝ｇ(ｔ)（ｙ＝ｈ(t)で考えた方が美しく解ける場合もある）で曲線Ｃに接するということを勘（ゴーストのささやき）で理解し、その接点を求め、接点のパラメーター表示から曲線Ｃを求めるということをやる。ここでは直線ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2がｘ＝（ｔ＋１）で接するということまではわからないが、ある点で接するということはわかっているものとする。

Ｌ（ｔ）：ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2と置く。Ｌは接点Ｐで「ある曲線Ｃ」に接しているものとする。
ｔを微少量Δｔだけ動かすとＬはＬ’まで動き、Ｃとの接点はＰからＰ’にに変わる。
さてＬとＬ’の交点をＲとする。Ｒは次の直線（１）と（２）の交点の座標である。
ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)…（１）
ｙ＝２（ｔ＋Δｔ）ｘ－（ｔ＋Δｔ＋１）^2＝f(t＋Δt)…（２）

（２）－（１）より、ｙを消去、　……………………………………………☆１
０＝２Δｔｘ－２Δｔ（ｔ＋１）－（Δｔ）^2
両辺をΔｔ＞０で割って、
０＝２ｘ－２（ｔ＋１）－Δｔ
よって接点ｘ＝ｔ＋１＋Δｔ／２＝Ｒx…………………………………………☆２

接点ｙ＝２ｔ｛（ｔ＋１）＋（Δｔ）／２｝－（ｔ＋１）^2…（１）
　　　＝ｔ^2－１＋ｔΔｔ＝Ｒy
∴Ｒ｛ｔ＋１＋Δｔ／２，ｔ^2－１＋ｔΔｔ｝…（３）
今、Δｔ→０とすると、Ｌ’→Ｌであり、同時にＰ’→Ｐ，Ｒ→Ｐとなる。

よって、（３）でΔｔ→０としたときの極限値は、……………………………☆３
Ｒ｛ｔ＋１＋Δｔ／２，ｔ^2－１＋ｔΔｔ｝→Ｐ（ｔ＋１，ｔ^2－１）であり、
点Ｐはある曲線Ｃの接点であるから、
Ｃ：（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）→Ｃ：ｙ＝(ｘ－１)^2－１＝ｘ^2－２ｘ
∴直線Ｌはｘ＝ｔ＋１で曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘに接しつつ動く。

問題文より、ｔは全実数である。また曲線Ｃは下に凸の関数であるので、
求める領域は「ｙ≦ｘ^2－２ｘ」 である。

＜考察＞
原理を説明すると、上記＜解説＞のようになるが、
☆１→☆２→☆３の流れをよく見てみると、

☆１：ｆ（ｔ＋Δｔ）－ｆ（ｔ）を作る。

☆２：｛ｆ（ｔ＋Δｔ）－ｆ（ｔ）｝／Δｔを作る。

☆３：(limΔｔ→０)［｛ｆ（ｔ＋Δｔ）－ｆ（ｔ）｝／Δｔ］を計算。

となっているよね。
つまり、ｘ，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して、ｘ＝ｔ＋１…（あっという間に接点ｘが求まる）
よって、
Ｐ：（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）…（代入してあっという間に接点ｙもまとまる）
Ｐは曲線Ｃの接点。
よって、曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘ…（あっという間に包絡線！）
後は同じ。

どうですか。簡単でしょう。

お礼

お返事してくださってありがとうございます。

＞＜解説＞
「・・・・・このように直線の方程式で任意定数ｔがどこかについてあるものは必ずある曲線Ｃにある点で接するのである。・・・・」

この部分についてなのですが、任意定数tは２次以上の式だから、曲線Cに接するんですよね。tが１次の場合は、包絡点になりますよね。

－－－－－－－
つまり、ｘ，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して、ｘ＝ｔ＋１…（あっという間に接点ｘが求まる） よって、
Ｐ：（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）…（代入してあっという間に接点ｙもまとまる）
Ｐは曲線Ｃの接点。 よって、曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘ…（あっという間に包絡線！）
後は同じ。 どうですか。簡単でしょう。

わかりました！！上の式は丁寧に微分の過程を説明していただいていたのですね。文型なので、今までは、微分するというとは接線の式を求めることだけだと思っていたのですが、上のように軌跡も求められるんですね。教えてくださった考え方でいくと、疑問のひとつの「x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。」というのもわかりました。tを動かしていく方が理解しやすいですね。
－－－－－－－－

ところで、任意定数と変数の違いがわからないのですが。どう区別すればよいのでしょうか。
それと、
＞ｘ，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して、ｘ＝ｔ＋１…（あっという間に接点ｘが求まる）

の部分にについてなのですが、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2をこのままtで微分すると、0=2x - 2(t+1) になってｘ＝ｔ＋１が出てくると思うのですが、もし上の式を
f(t)=２ｔｘ－（ｔ＋１）^2 -y のようにしてから、tで微分すると、
f'(t)=2x - - 2(t+1) となって、普通のtの式になってしまうのですが、どう違うのでしょうか。
それと、微分するというのは、ある点の傾きを調べるということですよね。これは、接点を求めることとイコールなのでしょうか。