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数Cですが。

双曲線x2乗/a2乗-y2乗/b2乗=1(a>0、b>0)上の点Pからの2つの漸近線に下ろした垂線PQ、PRの長さの積PQ・PRはPの位置に関係なく一定であることを説明せよ、という問題で、私は双曲線上の点P(x1、y1)から漸近線bx±ay=0に下ろした垂線の積はlbx1-ay1l/√b2乗+(-a)2乗・lbx1+ay1l/√b2乗+a2乗 更にlbx1-ay1l・lbx1+ay1l/b2乗+a2乗となりますが、ここから値一定はどう考えたらいいのでしょうか?よろしくお願いします。

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  • hh69
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x1,y1は双曲線上の点なので、 x1^2/a^2-y1^2/b^2=1      (1) を満たします。(1)式の両辺をa^2*b^2すると、 b^2*x1^2-a^2*y1^2=a^2*b^2 (2) となります。一方、 PQ*PR=lbx1-ay1l・lbx1+ay1l/b2乗+a2乗 の分子は、 |(bx1-ay1)*(bx1+ay1)|=|b^2*x1^2-a^2*y1^2| (3) と書き換えられるので、(2)(3)式より、 PQ*PRの分子は、a^2*b^2となります。 よって PQ*PR=a^2*b^2/(a^2+b^2) となり、一定となります。なお、「べき乗」は「^」、「掛ける」は「*」で表しています。

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2乗は ^2 と表します。 点Pは双曲線上の点だから、(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1・・・(1) 距離の積を  =|b^2(x1)^2-a^2(y1)^2|/(a^2+b^2)まで計算して (1)式より、(y1)^2={b^2(x1)^2/a^2}-b^2を代入すると・・・

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