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離心率の求め方。

だ円x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上の任意の点をPとする。Pから定点F(c、0)までの距離PFと、Pから定直線x=dへの距離PQが、常にPF:PQ=e:1をみたすという。(e>0),c,dをa,bを用いて表せ。 尚、双曲線x^2/a^2 -y^2/b^2=1についても同様に求めよ。 まず、だ円の回答⇔  PF^2=(x-c)^2+y^2 PQ=|d-x| これとPF^2=e^2PQ^2とから (x-c)^2+y^2=e^2(d-x)^2 (1) P(x、y)はだ円上の点であるから x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ∴y^2=b^2-(b^2/a^2)x^2これを(1)に代入してから、こうべきの順に整理すると (a^2-b^2-a^2c^2)x^2ー2a^2(c-e^2d)x+a^2(c^2+b^2-e^2d^2)=0  ☆これが、-a≦x≦aである 全ての実数xについて成り立つので a^2-b^2ーa^2e^2=0 c-e^2d=0 c^2+b^2-e^2d^2=0 これからe(>0)とc、dを求めて e=√(a^2-b^2)/a, C=±√(a^2-b^2), d=±a^2/√(a^2-b^2) (複合同順) 以上で求まるのですけど、双曲線のもとまりません >_<同じようにやって解いていくと思うのですけど、 だ円の時ちがい、今回は双曲線なんで、符号がマイナスに変わったx^2/a^2 ー y^2 /b^2 =1です。これを変形しても、-a>x a<xとなると思うので だ円の時に用いた☆これが、-a≦x≦aである全ての実数xについて成り立つのでというのが使えないので、どうしたらよいのか解りません。  双曲線の方はどのように求めればよいのでしょうか? 誰か教えてください!!!

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確かに、 >例えば、x^2-2x+4>0の時とかのグラフを書いたら、放物線が >x軸より浮いていて、x軸横全て、正になる事がわかるので、xは全て >の実数に成り立つと学びました。また、例えば、-x^2+x+2<0 >だったら、-(x-1/2)^2+9/4となって、不等式の範囲はー1>x、 >2<xみたいになりました。 は、xの2次式、例えば x^2-2x+4 が正になるのはxがどんな 範囲にあるときか?ときかれれば「xはすべての実数である」と答えます が、今回のxの2次式は不等式ではありません。ご質問の際に最後の方に 出てきたxについての長い式があるでしょう。あれは、だ円が存在する 範囲のxについては成り立つ式です、ということです。なぜなら、この場 合のxはだ円上の点Pのx座標ですから。つまり、xの範囲は、だ円とx 軸との交点のx座標である-aからaまでで考えている、ということです。 だから、あのxについての長い式は、xが-aからaの間ならばその間に だ円のグラフが存在するから、xにどんな実数を入れても=0になると いうことです。 たぶん数Iかなんかでやったと思いますが、xについての2次式(ここでは 2次式に限ってみますが・・)があってそれがすべてのxについて成り立 つ場合、その式を恒等式といって、  Ax^2+Bx+C=0 ならば A=B=C=0 である というようにやりましたよね? その考えを、今回の場合は、xを-aからaに限って使ったわけです。 もし、xの範囲が限定されていなければ、xがすべての実数について成り 立つから・・・は言えなくなります。 わかったでしょうか?不明な点があればどうぞ。

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質問者からのお礼

わかりました!!>_< 丁寧に教えてくれてありがとうございました!すごく嬉しくて感動しました!!!!もっと数学の世界について知りたいので、頑張ります!!!!ありがとうございました!!!!!!!!!

その他の回答 (1)

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だ円のときと同じようにやります。 >☆これが、-a≦x≦aである >全ての実数xについて成り立つので >a^2-b^2ーa^2e^2=0 >c-e^2d=0 >c^2+b^2-e^2d^2=0 とした理由を考えてみてください。最後に出てきたxの2次方程式が、 「-a≦x≦aにおいてはxにどんな実数を入れても成り立つ、つまり xについての恒等式になるから、各項の係数=0とできる」としたわけ ですよね。 だから、双曲線の場合も、x≦-a,a≦xにおいては、双曲線の式に 関して出てきた方程式  (a^2+b^2-a^2e^2)x^2-2a^2(c-e^2d)x+a^2(c^2-b^2-e^2d^2)=0 がxについての恒等式になるので、各項の係数=0として求められます。 解答では、同じようにして、「これがx≦-a,a≦xのすべての実数に ついて成り立つので・・・」とすればいいです。

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質問者からの補足

どうしてなのか、理由がわかりません>_< なぜ、-a≦x≦xに置いてはxにどんな実数を入れても、成り立つのか解りません。 なので、各項の係数=0と二次方程式が3つ出てきたのにスゴク驚いていて、私なりに二次方程式を昔学んだ時に、不等式のところで、例えば、x^2-2x+4>0の時とかのグラフを書いたら、放物線がx軸より浮いていて、x軸横全て、正になる事がわかるので、xは全ての実数に成り立つと学びました。また、例えば、-x^2+x+2<0だったら、-(x-1/2)^2+9/4となって、不等式の範囲はー1>x、2<xみたいになりました。つまり、これがyが負になる範囲なんですけど、 今回のも、ーa≦x≦aという範囲を得たのは正になる範囲だと思うのですけど、どうして、三つの係数の部分を抜き出して、二次方程式=0とできるのですか??? それか、xにどんな実数を入れても成り立つという意味が、何に対して成り立つのか意味が解ってないと思います>_< ごめんなさい>_<

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