解き方が分かりません。（その１）

質問

kを定数とする。

　∞　　　　　１　　　　　　　　　　　　　１
　Σ　――――――――――　＝　―
n=1　（ｎ+ｋ）（ｎ+ｋ+1）　　　　　　　　５

のとき、ｋの値は？

とあり、答えもわかりません。
解き方もしくはヒントを教えてくれないでしょうか？

回答No.3

orebiraki · ベストアンサー

だから、実際にn=1から適当なとこまで計算してよ。Σ記号の定義から、

{1/(k+1)-1/(k+2)}+{1/(k+2)-1/(k+3)}+{1/(k+3)-1/(k+4)}+…+{1/(k+m-1)-1/(k+m)}+{1/(k+m)-1/(k+m+1)}

ってことですよね？
すると両端の項しかのこらないでしょ。

頑張ってくらはい。

お礼

解けました。ありがとうございました。

回答No.2

wogota

1/{(n+k)(n+k+1)}という、1つの分数式を2つの分数式に書き換えてみましょうか。
ちょうど分母は因数分解ができますので、分母が、n+k、n+k+1の2つの分数式に
わけてみましょう。

お礼

ありがとうございました。解けました。

回答No.1

orebiraki

1/{(n+k)(n+k+1)}=1/(n+k)-1/(n+k+1) なので（部分分数分解）

m　　　　　１　　　　　　　
Σ　――――――――――　
n=1　（ｎ+ｋ）（ｎ+ｋ+1）　

　 m　　　１　　　　　　　　　１　
＝ Σ　―――― － ――――――　
　 n=1　（ｎ+ｋ）　　 　　（ｎ+ｋ+1）　

＝　1/(k+1)-1/(m+k+1) となります。
（実際にn=1から適当なとこまで計算しよう！）
で　ｍ→∞　なので無限和は　1/(k+1) になります。
これが　1/5 なので　k=4　ですかね、ハイ。

補足

m　　　１　　　　　　　　　１　
＝ Σ　―――― － ――――――　
　 n=1　（ｎ+ｋ）　　 　　（ｎ+ｋ+1）　

＝　1/(k+1)-1/(m+k+1) となります。

の所がいまいち良く分からないのですが・・・。