逆関数の問題について

質問

関数y=(x-1)/(2x+k)の逆関数が、またy=(x-1)/(2x+k)となるように定数kの値を求めよ。

どう頑張っても答えが0にしかなりません。
ちなみに答えは-1です。

おおよその解き方でいいので、解き方がわかった方は教えてください。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

元の関数
y = (x - 1) / (2x + k) …… (1)

逆関数：元の関数のxとyを入れ替える
x = (y - 1) / (2y + k)
y について解く。
y - 1 = x(2y + k) = 2xy + xk
(2x - 1)y = -xk - 1
y = (-xk - 1) / (2x - 1) …… (2)

(1)(2)が同じ形をとるためには、k = -1でなければならない。

お礼

ご回答ありがとうございます。

(1)(2)からk=-1を導き出す式も書いていただけるとありがたかったです。

本当にありがとうございます。

回答No.2

k14i12d

y=(x-1)/(2x+k)
⇔y=(x+k/2-k/2-1)/2(x+k/2)
⇔y=1/2-(k/2+1)/2(x+k/2) ←(1) (x≠-k/2,y≠1/2)
逆関数は定義域と値域が入れ替わるから、この時点で、k=-1と予想。(的中。)ただし、記述式の場合もっとちゃんと解かないと。だからもう少しダラダラと答案を書きます。
(1)⇔y-1/2=-(k/2+1)/2(x+k/2)
⇔(x+k/2)=-(k/2+1)/2(y-1/2)
⇔x=-k/2-(k/2+1)/2(y-1/2)
よって逆関数は、
y=-k/2-(k/2+1)/2(x-1/2) ←(2)
(1)、(2)を比べて、
k=-1を得る。