２次関数の問題です。

質問

２次関数の問題で答えは知っているのですが、途中式や解き方がわからないので困っています。
　　問題
　　　（1）xの２次関数p=x^2＋2kx＋2k^2－2x－6k＋8の最小値mは
　　　　　kのどのような関数になるか。
　　　　　また関数mはkのどんな値に対して最少となるか。

　　　　　　　　　　　答え、m=k^2－4k＋1;k=2のとき最小値　3

（2）x^2－xy＋y^2＋x－2y＋6の最小値を求めよ。

　　　　　　　　　　　答え、x=0, y=1のとき最小値　5

以上の二つの問題です。数学が得意な方お願いします。

回答No.2

B-juggler · ベストアンサー

ハイ了解(o｀・ω・)ゞデシ!!

Ｎｏ．１　です。連投です＾＾；

習ってないのね。。　それなら急いでやることはないけれど、

少し予習？　これでも、一応数学屋さん（元だけどね）なのよ～。

代数学って言うのの。　身体壊してね＾＾；

「完全平方」とも言うし、今は「平方完成」のほうが多いみたいね。

そんなに意味は違わない。　少し違うとすれば、

「完全平方」のほうにはあまりが出ない　ってことかな？

　＃気にしなくていいよ～。「平方完成」と思っておいてください。
　＃失礼、間違えて書いてるね。　σ(・・*)にはこっちのほうがなじみがあるので＾＾；

グラフを書くときに、重宝する計算方法です。

例）ｙ＝ｘ＾２　＋２ｘ　－５　のグラフを書け！　

なんてときに、これは因数分解できないので、解の公式を使うんだろうけど。

そんなことしなくても、グラフは書けるよ＾＾；

順を追っていきます。

１．ｘ　の項目だけ　カッコでくくる。

ｙ＝（ｘ＾２　＋２ｘ）　－５　になるね

２．（　）　のなかを、（　）＾２　の形にする。

ｙ＝（ｘ＋１）＾２　－１　－５　

　この　－１　は　（ｘ＋１）＾２からでてきた邪魔者だね。消しておかないと

　等式にならないので♪

３．整理する。

ｙ＝（ｘ＋１）＾２　－６　　ハイ！　これで完成。

何が分かるか？？　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

まず２乗の前を見て　(￢、￢) アヤシイ？？

マイナスついていないね。　なので　このグラフは　下に凸

　＃マイナスなら　上に凸のグラフになりますよ～。

次は、ｘ＝－１のとき、　ｙ＝　０＾２　－６　＝　－６　になるね。

ということは、ここが頂点。　このグラフは　ｘ＝－１　を軸にして

左右対称♪　最低の値（頂点）になるのは　－６　というのが分かります。

ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

こういう風な考え方を「平方完成」と呼んでいます。

えっと、前回の答えで、計算間違いがあるかもしれない。

検算をしてみてくれるかな？

この手の問題は、良くでるよ～。そしておいしい。(゜-、゜)ジュル

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございました。
回答して下さった内容を見ていると、とても楽しそうですね。
僕はまだ数学の楽しさがまだわからないので（苦痛です…）
がんばります。

回答No.1

B-juggler

こんばんは。

ちょっと珍しいケースかな？

まぁ、答えをどこからかもらったか、解答だけあるかのどちらかなんでしょう。

解き方がわからないと、大変に困りますね。

「完全平方」というのが分かられますか？

（１）はそれで終わりなんです。

（２）も結局は同じになるかな。

ちょっとやりましょうかね。　σ(・・*)代数学の非常勤でした（病気で死んでます＾＾；）

（１）の式を、こんな風に変換します。

ｆ（ｘ）＝ｘ＾２　＋　２ｋｘ　＋　２ｋ＾２　－２ｘ　－６ｋ　＋８

　＝ｘ＾２　＋２（ｋ－１）ｘ　＋２ｋ＾２　ー６ｋ　＋８

　＝（｛ｘ－（ｋ－１）｝＾２　－（ｋ－１）＾２　＋２ｋ＾２　－６ｋ　＋８

　＝（｛ｘ－（ｋ－１）｝＾２　＋ｋ＾２　－　４ｋ　＋９　

で、　ｆ（ｘ）　は　ｘ＝ｋ－１　のとき　最小値　ｋ＾２　－４ｋ　＋９　を

取ります。　なので、ｆ２（ｋ）＝ｋ＾２　－４ｋ　＋８　として、

この最小値を、　さっきと同じように（これが完全平方です）、

ｆ２（ｋ）＝（ｋ－２）＾２　－４　＋９　＝　（ｋ－２）＾２　＋５

とできます。

よって、　ｋ＝２のとき　最小値は　５　ですね。

　ついでにそのときのｘは　１　ですね。

（２）もほとんど一緒です。

ｘ（ｘ－ｙ－１）＋ｙ＾２　－２ｙ　＋６　とできます。

左の項は　ｘ＝０のとき最小！　右は　ｙの平方完成で決まりです。

こういうのは、きちんと理解しておかないと後々苦しむよ。

ｍ（＿　＿）ｍ

お礼

ありがとうございます。
まだ学校で習ってないのですが友人から教えてと言われて困惑してました。
私には書かれていることが全くわからないのでこの先すごく心配です…
また機会がありましたら基本的なことも教えていただきたいです
今日はありがとうございました。