接線の問題なんですが、、

質問

ｋと定数、eを自然対数の底とする。直線ｙ＝ｘが曲線ｙ＝ｋｘe^(-x+1)　に接している時、定数kの値を求めよ

という問題なのですが、、接点をｔと置いてごちゃごちゃ計算してみたのですが、答えにたどり着けませんですた。。
教えて下さい。。

回答No.3

Umada · ベストアンサー

最初のエックスは全角、後のは半角ですね、こりゃ見誤るわけだ・・・

というのは私のオッチョコチョイとして、
t=k t e^(1-t)　　　(1)
であれば、まずt≠0を仮定して両辺をtで割って(t=0の場合は後で別個に検討)、
1=k e^(1-t)　　　(2)
なので、
1/k=e^(1-t)　　　(3)
sugapiさんの(2)式　ke^(1-t)-kte^(1-t)＝1　にこれを代入し、
1-t=1　　(4)
これを解くとt=0だが、最初にtで両辺を割っているので矛盾。

次にt=0の場合を検討する。
sugapiさんの(2)式　ke^(1-t)-kte^(1-t)＝1　にt=0を代入。直ちに
k e^1=1
k=1/e
と求まる。

この時、題意の直線と曲線はいずれも(0, 0)を通る。
また
y=(1/e) x e^(1-x)
すなわち
y=x e^(-x)
のx=0における傾きはちょうど1であるので、(0, 0)で接することも言える。

よって答えはk=1/e、接点は(0, 0)
--------

でいかがでしょうか?　確認の意味でもグラフはぜひ描いてみてくださいね。

お礼

いつもありがとうございます。
とてもよくわかりました。。
ありがとうございました。

回答No.4

siegmund

Umada さんが完璧回答を書かれていますので，蛇足の補足です．

(1)　　y = a x e^(-x)
と書き直して(a = ke)，
グラフを見てみると題意の接点が(0,0)以外にないことがすぐわかります．
(1)は(0,0)を通ります．
微分してみるとわかりますように，
x=1 を境にして増加から減少に変化し
x=2 を境にして上に凸から下に凸に変化します．
a の値を変えるとグラフの y 方向の拡大縮小が起きるわけですが，
どう a を選んでも原点以外では接しようがありません．

あるいは，Y = y/a として，
Y = x e^(-x) と Y = x/a が接すると思った方がわかりやすいかも知れません．
これなら，曲線を固定して原点を通る直線の傾きを変えるだけで済みますから．

Umada さんも書かれていますように，
ぜひグラフを描いて幾何学的意味を見てください．

お礼

回答ありがとうございます。。

回答No.2

Umada

sugapiさん、またお目にかかります。

接点のx座標をtとおくやり方は間違っていないと思います。

まず、点を共有するという条件から
直線上にある点：(t, t)
曲線上にある点：(t, k e^(1-t))
として、y座標が共に等しいという条件から
t=k e^(1-t)　　(1)
が必要です。
しかしこの方程式は解析的に解けません。で、ちょっと置いておいて先に進みます。

次にその点での傾きが同一であるという条件を使います。曲線の式をxで微分すると
dy/dx=-k e^(1-x)　　(2)
これにx=tを代入します。
直線の傾きは1で一定ですので
1=-k e^(1-t)　　(3)
が必要条件として課せられます。
(1)と(3)を組み合わせて解くと、t=-1であることが分かります。

必要条件だけで解いてきていますが、逆順で戻れば十分条件も満たしていることはすぐ分かります。
従って答えは、接点の座標(-1, -1)で、kの値は-1/(e^2)です。およそのグラフを描いてみると分かりやすいと思います。

--------
と、回答を書き終えたところでsiegmundさんからちょうどアドバイスを頂きました。(前回のn角形のちょうど逆ですね・・・)　siegmundさんすみません、せっかく書き上げたのでそのまま投稿させてください。

補足

回答ありがとうございます、もとの曲線なんですが
ｙ＝ｋｘe^(1-x)のｋとeの間にあるのは掛けるではなくて、エックスです、、僕の書き方が悪かったのかもしれません、、すいません
接点を（ｔ,ｔ）（ｔ,tｋe^(1-t))と置くと
ｔ＝ｔｋe^(1-t)・・・・(1)
dy/dx=ke^(1-x)-kxe^(1-x)
x=tを代入して、
ke^(1-t)-kte^(1-t)＝1・・・(2)
(1)を使うと

1/ｋ-ｔ＝1となってしまって止まってしまいます
すいません、補足お願いします、、

回答No.1

siegmund

> 接点をｔと置いてごちゃごちゃ計算してみたのですが、答えにたどり着けませんですた。。
というのでしたら，あなたがどういう風に計算してどこでギブアップしたのか，
アウトラインだけでも具体的に書かれるのが筋です．
その方が回答者も回答しやすく，
あなたの望むような回答が出る可能性が高い，
ということは明らかでしょう．