【数学的機能法】

質問

(1)ｎを正の定数とする。
不等式２^ｎ≧ｎ^2+ｎはどのようなｎに対して成立し、
どのようなｎに対して成立しないのか推測せよ。

(2)(1)で推測したことを数学的機能法によって証明せよ。

ヒント**
ｎ=ｋ(ｋ：5≦ｋ）のとき
２^k≧ｋ^2+ｋが成り立つと仮定する。
ｎ=ｋ+1のとき
２^(k+1)－{(k+1)^2+(k+1)}
=２・2^k－(k+1)^2-(k+1)
≧2(k^2+k)-(k+1)^2-(k+1)
=（k+1)(k-2)＞0

分かりそうで分かりません(><)

解法付きでお願いしたいです!

回答No.4

NemurinekoNya · ベストアンサー

No.3です。
n=4のときの計算を間違えました。

★誤り
n = 4の時
　2^n = 2^4 =16
n^2+n = 4^2 + 2 = 18

☆正
n = 4の時
　2^4 = 2^4 = 16
　n^2+n = 4^2 + 4 = 20

なので、訂正をよろしくです。

回答No.3

NemurinekoNya

(1)
n = 1 の時
　2^n = 2^1 = 2
　n^2+n = (1)^2 + 1 = 2
n = 2 の時
　2^n = 2^2 = 4
　n^2+n = (2)^2 + 2= 6
n = 3　の時
　2^n = 2^3 = 8
　n^2+n = (3)^2 + 3 = 12
n = 4 の時
　2^n = 2^4 = 16
　n^2+n = (4)^2 + 2 = 18
n = 5　の時
　2^n = 2^5 = 2^5 = 32
　n^2+n = 5^2 + 5 = 30
n = 6 の時
　2^n = 2^6 = 64
　n^2+n = (6)^2 + 6 = 42

ということで、n = 1 と　n >= 5
のときに、
2^n ≧ n^2+nがどうやら成立しそうだと予想できる。

(2)
推測:
　n = 1 または n≧5の時に 2^n≧n^2+nが成立する

証明
n=1 の時
2^1 = 1~2 + 1 = 2
　よって成立する

n>=5の時に成立することを証明すればよい
n>=5の時
2^5 = 32 > 5^2 + 5 = 30
よって成立する

n=k(k>=5)の時に成立すると仮定する
2^k ≧ k^2 + k

n=k+1のとき
2^(k+1) - {(k+1)^2 +(k+1)}
=2・2^k－(k+1)^2-(k+1)
≧2(k^2+k)-(k+1)^2-(k+1) …(∵ 2^k ≧k^2 +k)
=（k+1)(k-2)＞0　　　　　　　…(∵ k>=5)
故に
2^(k+1)≧(k+1)^2 + (k+1)

　以上、証明終わり

みたいな感じです。

(1)で
　2^4 = (4)^2
　だから n = 4　のとき 2^n = n^2
　が成り立つことを知っていると、のちのち何かと便利だよ～

回答No.2

asuncion

＞(1)ｎを正の定数とする。

正の「整数」のことですか？
定数と整数では、意味が全く異なります。
まあ、数学的帰納法の問題らしいので、整数だとは思いますけれど。

回答No.1

spring135

>数学的機能法

間違いです。

補足

ありがとうございます！

数学的帰納法ですね！