二次関数？の場合わけ

質問

二次関数というか、不等式についての問題です。よろしくお願いいたします。

│x-1│+│x-2│=x　は x<1 1≦x<2 2≦xの三つの場合に分けて考える、と書いてありましたが、なぜこのように分けるのでしょうか。パターン問題のような感じで暗記しているので正解はできましたが、はっきりとした理由はわかりません。
これが、はっきりとわからないせいか、次のようなこともわかりません。
│x-4│>3xはx＞0のときは明らかに成り立つので、0≦x<4 4≦xの場合に分けて考えるとありますが、これもわかりません。明らかに成り立つというのも成り立つことは-1などを代入すればわかりますが、そんなすぐはわかりませんでした。また、この問題はなぜ場合わけを0からするのかもいまいちわかりません。

どなたか、僕のようなバカでもわかるように丁寧に教えていただければうれしいです。

回答No.2

springside · ベストアンサー

まず、これは二次関数ではなく、一次関数です。

さて、このように「絶対値記号」があるときですが、まず絶対値記号を外したいですよね。
このときの場合分けの考え方ですが、要するに、

　「絶対値記号の中が0以上か、0より小さいか」

で分けるだけで、他のことを考える必要はありません。

今回の例で言えば、

(1)「x-1≧0か、x-1＜0か」つまり「x＜1か、1≦xか」
(2)「x-2≧0か、x-2＜0か」つまり「x＜2か、2≦xか」

の２つを考えて、上記(1)と(2)を組み合わせると、

　「x＜1か、1≦x＜2か、2≦xか」

の３種類の場合分けができるわけです。

次の不等式のヤツも、
　「x-4≧0か、x-4＜0か」つまり「x＜4か、4≦xか」
だけで考えましょう。
場合分けを0からしていますが（「x<0のときは明らかに成り立つ」、ですよね。これは、x<0の時は、左辺は0以上、右辺は0以下なので、明らかに成り立つ、ということです。）、そんなことはしなくてもいいです。

お礼

ありがとうございました。わかりやすい、の一言です。数学の苦手な僕は難しく考えてしまうんですが、簡単に考えて理解することができました。

回答No.4

debut

絶対値をはずす場合、
　　・絶対値の中が＋のとき・・・そのままはずす
　　・絶対値の中が－のとき・・・－１をかけてはずす
　ということをしますよね。

だから、この問題では
　｜ｘ－１｜はｘ＝１を境にして　ｘ＜１では－　　　１≦ｘでは＋
　｜ｘ－２｜はｘ＝２を境にして　ｘ＜２では－　　　２≦ｘでは＋
と符号を見て絶対値をはずすわけですが、両者をいっしょにする場合、ｘ
の値によってははずしかたが異なる部分があるので細かく調べます。
つまり、
　・ｘ＜１では　　　｜ｘ－１｜、｜ｘ－２｜共に－１をかけてはずす
　・１≦ｘ＜２では　｜ｘ－１｜はそのままはずす　が、｜ｘ－２｜は
　　　　　　　　　　　－１をかけてはずす
　・２≦ｘでは　　　｜ｘ－１｜、｜ｘ－２｜共にそのままはずす
ということです。

＞│x-4│>3xはx＞0のときは明らかに成り立つ
　　はx<0のときは　ですね。
　　でも、それは考えなくても大丈夫です。
　　　・ｘ＜０
　　　・０≦ｘ＜４なら　不等式を解いてｘ＜１だから　０≦ｘ＜１
　　　・４＜ｘなら　不等式を解いてｘ＜－２だから　解なし
　で、結局、答えはｘ＜１　となるけど、これは　ｘ＜０のときを考えず
　ｘ＜４のとき、と４≦ｘのとき　で分けた場合でも同じ答えになります

回答No.3

botte

まずは│x-1│+│x-2│=xについて、

x<1のときは、絶対値の記号の中の x-1 と x-2 が
どちらも負の値になるので、絶対値を求めるときに
-1をかける必要があります。

(例えば、x=0のときは、x-1=0-1=-1, x-2=0-2=-2
となり、それぞれの絶対値は1と2になります。つまり
-1をかけるのと同じことを行っています)

1≦x<2のときは、x-1 が正の値、 x-2 が負の値に
なり、絶対値を求めるには、 x-1はそのまま、
x-2 には-1をかける必要があります。

(例えば、x=1.6のときは、x-1=1.6-1=0.6,
x-2=1.6-2=-0.4となり、それぞれの絶対値は
0.6と0.4になります)

2≦xのときは、x-1 と x-2 が
どちらも正の値になるので、絶対値を求めるときは
そのまま求められます。

このように、絶対値を求めるときに
どのような操作をx-1とx-2にかけるかが
上の3つの場合で違うのです。

│x-4│>3xについて

0≦x<4 4≦xにわける理由は上の例とNo.1の解答と
同じです。しかし、この式だけでは
「場合わけを0からする」理由はないですね。

こんなことをする理由は、

・xの条件にx>0も含まれる
・求めるxが正の数でなければならないもの
(例えば図形の一辺の長さ、これは負の数をとれない)

くらいです。

回答No.1

taiyo7

絶対値をはずす時に、絶対値の中がプラスのときと、マイナスの時に分けているのです。
　わからない場合は、また回答します。

お礼

能力のない僕にはわかりません。。。。。