指数関数の問題

質問

次の連立方程式を解け。ただし、Ｘ＜Ｙとする。
２＾Ｘ＋３＾Ｙ＝４／５　　　－(1)
２＾－Ｘ＋３＾－Ｙ＝５　　　－(2)
という問題で、とりあえず(2)を変形してそこに(1)を代入してみれば２＾Ｘ・３＾Ｙ＝１／４　になるので、まず間違いなくＸ＝－２、Ｙ＝０だと思いますし、代入してみても正解のようです。けれども３＾Ｙ＝１／４とかだってきっとあり得るのでしょうし、そんな推定で答えを求めていいのでしょうか？もしいけないとしたら、どのように求めるのでしょうか？

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

解が１つであったり、マークシートの問題であれば、そんな解き方でもかまいません。

ただ、記述式だと、他に解がないことなどを確かめる必要があります。

M = 2^X, N = 3^Yとすると、
2^(-X) = 1/M, 3^(-Y) = 1/Nとおけますので、

あとは、M,Nに関する連立方程式を解けばよいです。

Mの２次方程式になれば、解が２つ、
M,Nの２次方程式になれば、解の組合せは２×２で４通り存在することになります。

お礼

ありがとうございます。
解においてですが、Ｍ＝０なんていうのは成り立ちませんよね？
そしたら解は１つで済みます。

回答No.3

postro

２＾Ｘ・３＾Ｙ＝１／４　にならないと思います。
大文字だとみにくいので小文字に書き換えると
2^x+3^y=4/5　　　－(1)
2^(-x)+3^(-y)=5　　　－(2)
(2)の両辺に（2^x）（3^y）をかけると
2^x+3^y=5（2^x）（3^y）　　　－(3)
よって
5（2^x）（3^y）=4/5
ゆえに
（2^x）（3^y）=4/25　　　－(4)
です。
で、このあとは、(1)(4)の連立方程式を解けば　（　2^x=a ,3^y=b などと置いて解いてもよいです。）
2^x=3^y=2/5 となって
x=1-log(2)5
y=log(3)2 - log(3)5
が答えかな？
x<yの条件も満足していると思います。

お礼

前の方のお礼にも書きましたが、打ち間違いでして・・・、（本当、そそっかしいです）。
logはまだ習ってないのでよくわかりません。
でもご丁寧にありがとうございます。

回答No.2

backflip

推定で答えを求めるのは良くないですし、それに間違っています。
Ｘ＝－２，Ｙ＝０を代入したら
（１）＝５／４
（２）＝５
となります。
（２）を変形させて３＾Ｙ＝？に直し、それを（１）に代入してください。

お礼

すみません。打ち間違いでした。本当は５／４です。
やっぱり推測はいけませんよね。
ありがとうございます。