指数関数の連立方程式

質問

比を使った高校生の指数関数の問題なのですが、
参考書などを見ても全く解けず困っています。

x＋y＋z＝12
2^(x-14)：5^y＝5^2y：10^(z+5)

このような連立方程式でx,y,zの値を求めようとしています。

対数をとってみたのですが、うまく解けませんでした。
未知数が３つなのに、方程式２つで解けるのでしょうか？

回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#47894 · ベストアンサー

x,y,zは整数とか有理数とか、なんかそんな指定はないですか？
3文字で2式の場合は、無数に解が出てきそうですが...

2^(x-14)：5^y＝5^2y：10^(z+5)　なので、5^3y＝2^(x-14)×10^(z+5)
10を底として対数をとります。
3y(1－log2)＝(x-14)log2+(z+5)

log2について整理して3y-z-5=(x+3y-14)log2
ここで有理数条件（があるとして）から、両辺が０と分かりますね（log2が無理数なので...log2が無理数ということは証明なしで使えることにしますが、証明せよという問題もたまに出題されます）

途中の計算は、自分で確認してください。
ある無理数p、有理数a,bに対して、ap+b=0が成立すれば、a=b=0　というのがポイントです。

お礼

回答ありがとうございます。

x,y,zは整数と指定がありました。
不十分な質問ですみませんでした。
3y-z-5=(x+3y-14)log2
この式が成り立つためには、左辺が有理数であることが明らかなので、
両辺が０になるのですね。
3y-z-5＝0
x+3y-14＝0
という式と、問題文での式で解くことができました。

丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.1

age_momo

2^(x-14)：5^y＝5^2y：10^(z+5)

等式にすると

2^(x-14)*10^(z+5)=5^y*5^2y
2^(x-14+z+5)*5^(z+5)=5^3y

等式が成り立つためには2の指数部分は0でなければなりません。
（右式に2の因数はありませんから）

x+z-9=0
z+5=3y

これを最初の式に代入すればよいのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

2^(x-14+z+5)*5^(z+5)=5^3y
の式を恒等式として考えるということですね。
納得しました。
計算してみたところ、しっかりと答えを出すことができました。
早い回答ありがとうございます。