二次関数の場合分けについて

質問

ｋをk≧０を満たす定数とする。二次関数ｙ＝ｆｘ＝－ｘ＾２＋２ｋｘー４ｋｘ＋４（０≦ｘ≦１）の最大値を求めよ、という問いで
、ｋについて場合わけをするのですが、解答には(1)０≦ｋ≦１のとき(2)１＜ｋのときの二通りに場合わけをする、とあります。私が疑問に思ったのはこのときのｋの場合分けのパターンで、(1)ｋ＝０(2)０＜ｋ＜１(3)ｋ＝１(4)１＜ｋの(4)パターンに分けられるのでは？と思ったのです。なぜこの解答のようになるのか教えてください。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

関数なんかどうでも良い。考え方の問題だから。

実際に最大値を求めてみて、k＝0と1の時の値を求めてみれば、君のように4つの場合分けが、模範解答のように2つで済む事が、分るだろう。
だから、(1)　k≧1　と　(2)　0≦k≦1としても良い。
この時、(1)と(2)の一致するk＝1の場合の最大値は、当然にも同じになる。
どこに等号をつけても、最大値のグラフを書いてみて、そのグラフが連続になっていると良い。

回答No.2

jamf0421

これはf(x)=-x^2+2kx-4k+4(0≦x≦1)(k≧0）のつもりでしょうか？その前提でよいならば
f(x)=-(x-k)^2+(k-2)^2
となりますね。
(i)対称軸x=kが0≦k≦1の時は頂点(k-2)^2が最大値
(ii)k＞1の時はx=1でf(1)=-2k+3が最大値
となります。
k=0の時は与式はf(x)=-x^2+4となりx=0で最大値4をとりますが(i)に含まれ、k=1の時は与式はf(x)=-x^2+2xとなりx=1で最大値1をとりますが、これも(i)に含まれます。後者の場合は(ii)に含まれるといっても差し支えありません。
問題の前提を間違えていたらごめんなさいです。

補足

すみません。間違えました。
誤ー４ｋｘ　正ー４ｋ
です。

回答No.1

info22

>ｙ＝ｆｘ＝－ｘ＾２＋２ｋｘー４ｋｘ＋４
この式、合ってますか？
fxはf(x)だと思いますが、
+2kx　の項と -4kx の項
が別れていますが、あわせれば
-2kx
となりますが、分けてある意味がわかりません。
式が間違っていれば回答しても意味がありませんので
確認して下さい。