場合分けについて

質問

a＞0とする。関数y＝x^2(3－x)の0≦x≦aにおける最大値・最小値をaの値によって分類して求めよ。
という問題で、解答は、0＜a＜2のとき、2≦a＜3のとき、a＝3のとき、a＞3のときの４つに分けて答えてあるのですが、こういった問題ではa＝3のときは独立させるものなのでしょうか？
他の、場合分けをして最大・最小を求めるような問題ではこの問題でのa＝3のような境目の数字を独立させていなかったと思うのですが、どういう問題のときに独立させるべきなのかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

> a＝2のときx＝0、2で最小値0をとるから独立させるべきということになりますよね。
> でも解答では0＜a≦2のとき、とまとめられているんですよね。

それも独立させた方が良いです。

y = f(x)の最大値・最小値を問う問題では、
最大値・最小値を取る時のxの値も併せて書かないと
減点される場合があります(そうする採点者の方が大多数派？)。
そういう採点者の場合、この部分できちんと独立させてないと、
減点させてくるかもしれません。

何故かは分かりませんが、高校数学では
「y = f(x)の最大値・最小値を求めよ」という問題に対し、
それらを与えるxの値を答えなきゃいけないようになっています。
なので最大値・最小値を与えるxの値が複数ある場合でも
場合分けしておいた方が無難だと思います。

ただ、「最大値・最小値にしか興味がなくて、
それらを与えるxの値はどうでも良い問題」の場合には、
質問者さんが思っているようにまとめてしまっても大丈夫だと思います。

お礼

遅くなってしまいましたが、回答ありがとうございます！

場合分けした方が安全なんですね。
私はむしろ、独立させて場合分けの数が多くなったら減点されるんじゃないかと思ってました；

あと、一応確認したいのですが、今回の問題のa＝2のときのように、最大値や最小値となるときのxの個数が同じだったら、前後のどちらかにまとめるべきですよね？このときって、どちらにまとめてもいいんですよね？

回答No.4

R_Earl

> 今回の問題のa＝2のときのように、最大値や最小値となるときのxの個数が同じだったら、前後のどちらかにまとめるべきですよね？このときって、どちらにまとめてもいいんですよね？

どちらにまとめても良いです。

お礼

ありがとうございました。
助かりました。

回答No.2

noname#208901

3次関数の問題ですかね。

微分すると、x=0 .2 で極大値と極小値をとるわけです。

ですから、一番の最小値の第一候補は、x=2のとき

なわけですよね。んで最大値の第一候補は当然

上がりっぱなしの極小値を過ぎた部分のどこかにある。

第2候補は極大値。ｘ＝０のときですよね。

さて、０＜a＜２を調べる意義。

これは、極大から極小へ向かう過程です。そして、

もしaが１．５＝2分の３という値のｘを取るのであれば、

その時が最小値になる。だから０＜a＜２のときを調べる

わけですよね。では次。ここも疑問じゃありませんか？

なぜa=2として独立させず２≦aなのか。と。

aは２のときｘ＝２として極小値を取ります。

そして２を過ぎてからは上がっていくということが分かり切っています。

しかし、２＜a＜3のとき、最小値はと聞かれたら？

？aは２ではない。２、０００００００００・・・・１のとき

最小値、とその時は答えなくてはなりません。そんなあほなぁ。ってことになります。

ですからここでは２≦a<３とするのが、後後を考えた書き方でしょうね。。そして３を含まないと

しているのは、ここに注目。上の式はｘ＝０．３のとき、ｙ＝０となる。

すなわち、aが２＜a＜３の間にある時であれば、例えばa=2分の５の時、

結局最大値は０なわけですよね。（ｘ＝０のとき最大値０）ｘ＝２．９９９９９９・・・・９

のときもやっぱり最大値は０．

ｘ＝３のとき０ですから、ｘ＝２を超えて

ｘ＝３になるまでは、０を超えることはないわけです。

んで、問題のｘ＝３のとき。答えは０ですよね。何でこんな風にわけたんでしょね。

一つは、解だから。っというのがポッと浮かぶ答えです。解だから、特別扱い。

そしてそしてaは、ｘの値を広げる役目しかおってませんから、3<aのとき、最小値は？

と聞かれたら、やはりｘ＝２のとき最小となるわけです。a=xの値ですが、aはあくまでも

xの変域。右端。3<aと書いてあり、最小値はｘ＝３に最も近い数のときにとるみたいに錯覚するかもしれぬ

しないするかも～ですが、結局xは０から３まで動くことは確実なわけです。aが3以上のどれか

を取る場合を今回は指しているに過ぎません。つまり、ｘ＝２を超えた時点で、最小値はｘ＝２で

確定しちゃってるわけですね。0≪x≪aですからね。a<3のとき、xは０から3の値は必ず取ります。

で、肝心のa=3で独立させているところですが、もうひとつ、ｘ＝３のとき、ｘ＝０のときとして、

最大値を2つ取るからではないか。ということも考えられます。つまりこの問題のｘ＝３は

特別なんです。さらに、3≪aのときとしたと仮定して、これにこそ意味はあまりないんです。

なぜなら、このとき、グラフは右にずーーーっとのびていっていくだけで、最小値は２のときで

確定されていますから。3を含ませない理由もわかりませんが、含ませる意味もないんです。

むしろa=3のとき最大値を2つ取るこの特殊性をとらえた書き方なのではないでしょうかね。

まぁ場合分けってどこの学校でも参考書も何でそんなわけ方するのか当たり前のように書いてあって

勉強する人たちを悩ませて来ましたよね。あれで嫌いになった人も多いのではないでしょうかね。

も一つお勧め、しばらく似たような例題を本屋の数学書から、同じ類題の答えを探し出して、

比較されてみてはいかがでしょうか。数学も実は学者などが、こう書くべきであるべきでないと

いまだ確定していない状態で書いている場合も多く、特に歴史書などはその典型です。

だからあまり頭の中でぐるぐる思いを巡らせず、類題を見て比較検討するのがいい手だと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
他の参考書ではどうなっているか見てみようと思います。

回答No.1

R_Earl

今回は独立させるべきです。
a=3の場合は、他の場合と比べて違う所があります。
a=3の時だけ、最小値を取るxの値が2つあります。
なので他の場合と区別しておいた方が良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

私もそれは考えたのですが、例えば、
a＞0とする。２次関数y＝2x－x^2の0≦x≦aにおける最小値を求めよ。
という問題でも、a＝2のときx＝0、2で最小値0をとるから独立させるべきということになりますよね。
でも解答では0＜a≦2のとき、とまとめられているんですよね。
どういうことなんでしょうか…