★不等号の場合分けについて教えてください。

質問

【問題】
「０≦x≦２における２次関数f(x)＝－x^2＋２axの最大値と最小値、およびそのときのx値を求めよ。」

この問題で、私は次のように場合分けして最大値と最小値を回答してみました。だけど解答集とは違っていたので・・・・これでは間違いになりますか。
一番の悩みは、場合分けのときにどちら側に等号を含めたらいいの？っていうことで、いつもどちらかの境目に入れときゃいいかな？って感じで考えています。ちょっと不安なのでお願いします。

＊あと最大値と最小値は解けましたが、入試とか模試のときには学生なので（例えば学校の先生みたいに）「最大値をMax：f(1)＝２」とか「最小値をMin：f(1)＝２」のように書くと生意気と思われるてしまうのでしょうか。やっぱり学生の間は「最大値２(x＝1のとき）、最小値２(x＝1）」のように書いた方がいいのでしょうか。

（私の解答＝４つの場面に場合分け）＊最大値と最小値は解けました。
・a＜０
・０≦a＜１
・１≦a＜２
・２≦a

（解答集＝５つの場面に場合分け）
・a≦０
・０＜a＜１
・a＝１
・１＜a≦２
・２＜a

どうぞよろしくお願いします。

回答No.6

matsu_jun

この問題における真の場合分けは

a≦0　(x=0で最大、x=2で最小)
0<a<1　(x=aで最大、x=2で最小)
a=1　(x=aで最大、x=0とx=2で最小)
1<a<2　(x=aで最大、x=0で最小)
2≦a　(x=2で最大、x=0で最小)
だと思います。

何故なら、最大・最小を取るときの値を日本語で呼び変えてみると

a≦0　(決められた範囲の左端で最大、右端で最小)
0<a<1　(決められた範囲の途中で最大、右端で最小)
a=1　(決められた範囲の途中(真ん中)で最大、両端で最小)
1<a<2　(決められた範囲の途中で最大、左端で最小)
2≦a　(決められた範囲の右端で最大、左端で最小)

さらに、グラフの形で呼び変えてみると

a≦0　(0≦x≦2の範囲で、常に登りっぱなし)
0<a<1　(0≦x≦2の範囲にてっぺんがあるが、左寄り)
a=1　(0≦x≦2の範囲のど真ん中にてっぺんがあり、左右合同)
1<a<2　(0≦x≦2の範囲にてっぺんがあるが、右寄り)
2≦a　(0≦x≦2の範囲で、常に下りっぱなし)

もちろん、1<a<2、2≦a と分けても、1<a≦2、2<a と分けても、見た目上は変わらないように見えます。
1<a<2 なら、x=aの時にf(x)は最大値a^2をとります
2≦a なら、x=2の時にf(x)は最大値 -4+4a をとります。
本来ならですよ。しかし、a=2の時は、a^2も4、-4+4aも4になってしまうので、見た目が変わらないので、どちらに入れてもよさそうに思えるわけです。

しかし、上の日本語やグラフの形でなぞらえてみると、回答の分け方もまた、間違っているのではと思えてなりません。せめて

a<0
0≦a<1
a=1
1<a≦2
2<a

なら話はわかるのですが。。。

いずれにしても、ANo.2さんの言うとおり、a=1の場合を特別にしていない時点で、kaede_sakuraさんの回答は誤ってはいるんですが、解答についても余りほめられたものではないかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

matsu_jinさんのお話しよく理解しました。

あと、matsu_jinさんのお話しの中で

「a=1　(決められた範囲の途中(真ん中)で最大、両端で最小)」

はa＝１のときには、最小値をとるxの値が二つ存在するので「特別扱いにする」ってことですね。

これからは常に意識していきたいと思います。

回答No.5

DJ-Potato

本来のやり方としては、すべての境目で等号を分けてから、
最後に結果が一致する部分ごとに統合して記載する、のがスマートな解答ですかね。

この問題とは関係ないとして、

例えば
a < 0　のとき○○
a = 0　のとき△△
0 < a < 1　のとき△△
a = 1　のとき□□
1 < a < 2　のとき□□
a = 2　のとき☆☆
a > 2　のとき○○

とかなるなら、
(1) a < 0またはa > 2のとき○○
(2) 0 <= a < 1　のとき△△
：
：
って感じに書く。

お礼

皆さんありがとうございます。

ポテトさんのお話しよく理解できました。

「本来のやり方」っていう部分を瞬間イメージできるんですね、すごいなw。

私も訓練すれば瞬間イメージできるかなw。

回答No.4

mister_moonlight

ごめん、ごめん。

実際に最小値を求めたら、a＝1のときは、0　と　2a-1　は一致しないから、これは別に扱う必要がある。
あんまり、例を見ないな　こんな問題は。うかつでした。。。。。<m(__)m>

お礼

皆さんありがとうございます。

moonlightさんのお話しの中で

「実際に最小値を求めたら、a＝1のときは、0　と　2a-1　は一致しないから、これは別に扱う必要がある。」

っていうことは、こういう問題って常に二つ存在しているのかどうか意識しないといけないってことですよね？

回答No.3

mister_moonlight

＞一番の悩みは、場合分けのときにどちら側に等号を含めたらいいの？っていうことで

別に悩む必要はない。
aの全ての端点に等号をつけると良い。a≦０、　０≦a≦１、　１≦a≦２　、２≦a　としてやれば良い。

何故かと言うと、例えば、a＝1としてやると　０≦a＜１の時の最大値と　１≦a＜２　の時の最大値は一致する。
それは　最大値と最小値の各々のグラフを書いてみるともつと判りやすい。

むしろ、模範解答のようなのが不自然。それなら、何故　a＝0　と　2　の場合を別に扱わないのか。

＞やっぱり学生の間は「最大値２(x＝1のとき）、最小値２(x＝1）」のように書いた方がいいのでしょうか

それはどっちでも良いだろう。
大学の採点者は数学のプロ。何が必要で、何が不要かわきまえてる。
使ってはいけない定理(例えば、ロピタルの定理)を使うわけではない。

お礼

皆さんありがとうございます。

moonlightさんのお話しよく理解できました。

本屋さんで買ってきた問題集なのに不自然な模範解答っていうのもあるんですね。初めて知りました。

これで少し不安がなくなりました。

回答No.2

rnakamra

問題に"およびそのときのx値を求めよ"とあります。これが無ければ質問者の答えでもかまわないでしょう。

問題は"およびそのときのx値を求めよ"。
a=1の時の最小値を与えるxの値はいくらになるでしょうか。
この場合、最小値を与えるxの値は二つになるのです。
これは1<a<2の場合とは明らかに異なります。ですのでa=1は分けて答えないといけないのです。

お礼

皆さんありがとうございます。

rnakamuraさんのお話しの中で

「問題は"およびそのときのx値を求めよ"。
a=1の時の最小値を与えるxの値はいくらになるでしょうか。
この場合、最小値を与えるxの値は二つになるのです。
これは1<a<2の場合とは明らかに異なります。ですのでa=1は分けて答えないといけないのです。」

ということは、こういう問題って常に二つ存在しているのかどうか意識しないといけないってことですよね？

確かめてみましたが、本当に二つ存在してしまうからダメということが分かりました。少し不安がなくなりました。

回答No.1

Tacosan

場合分けをするときの不等号において等号をどうするかは問題によります. (結果的に) どこの不等号に等号をつけるかが決まってしまうこともあれば, 「どちらにつけても問題ない」こともあります. 今の場合は＊基本的に＊どこに入れても同じことになるのであまり気にする必要はありません. どうしても気になるなら等号の場合を区別すればいいだけですが....

で最大値とか最小値の表し方だけど, よ～く考えると
「最大値をMax：f(1)＝２」
って「最大」が重複してますよね. むしろ「最大値２(x＝1のとき）」などの方がシンプルだと思うんだけどなぁ.

ところで, 解答集でなぜ 5つに分かれているのかは理解できていますか?

お礼

皆さんありがとうございます。

Tacosanのお話しよく分かりました。重複するのでMaxとかMinってしない方がいいんですね、学校の先生は平気で黒板にそう書いていたので何かな？って思っていました。

あとTacosanのお話しの中で

「ところで, 解答集でなぜ 5つに分かれているのかは理解できていますか?」

についてですが、ごめんなさい、未熟者なので理解できていません。

どうしてなの？

でも少し不安がなくなりました。