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二次関数の場合分けの方法

関数f(x)で f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+2aで y=┃f(x)┃【絶対値f(x)の意】の0≦x≦1における最小値を求める問題なのですが解等を見ると6つに場合分けしてありました。 解答しか載っていなくて困っています。。。 解法などを詳しくヨロシクお願いしますx_x

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f(x)=y=x^2-2(a+1)x+a^2+2a は y=(x-(a+1))^2-1 ・・・(1) と変形できるのはお分かりでしょうか。これは、座標(a+1,-1)を頂点とする下に凸の放物線です。 これが y=│f(x)│・・・(2) となるとx軸より下の部分が、x軸を対称軸にして折り返されたようなグラフになります(「W」のような形になります。グラフを書いて確認してみて下さい)。 この「W」型のグラフはyが最大または最小となる点が3つあります。 f(x)=y=0を満たす2点((1)のグラフとx軸の交点)で最小となり、点(a+1,1)で最大となります(y=0となる時のxの値は、(1)式=0を解くと出てきますので、出してみて下さい)。 ここで、仮にグラフの左(xの小さい方)から順にA(最小)、B(最大)、C(最小)とすると、上の計算で出した結果が正しければAC間の距離は2になるはずです。グラフは左右対称の形をしていますので、AB間はその半分の「1」になります。つまり、0≦x≦1という区間の長さと同じということです。 そうなると、(2)のグラフがaの値によってx軸に並行に移動した場合に、与えられた区間0≦x≦1で最小値が変わってくるのは、その区間が 1)Aより左(負)側にある時 2)Aをまたぐ時 3)Bをまたぐ時(Bより左(負)側で最小値を取る場合) 4)Bをまたぐ時(Bより右(正)側で最小値を取る場合) 5)Cをまたぐ時 6)Cより右(正)側にある時 の6つの場合ということになります。書いてみたグラフを見ながら、その違いを確認してみて下さい。 ここまでのことが分かれば、後は方程式が解けるかどうかの問題です。とりあえず、以上のことをヒントにして解いてみて下さい。

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質問者からのお礼

大変分かりやすくありがとうございました!!!

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  • 回答No.1
  • redowl
  • ベストアンサー率43% (2140/4926)

6つの場合が 全部わかりますか? f(x)= y=x^2-2(a+1)x+a^2+2a の式をxy座標のグラフにかくと 下に 凸 の放物線になります。 この放物線が  x軸に交わる  x軸に接する x軸に交わらない の3通り を考える かつ y>0 y<0 の2通り を考える この組み合わせが6通りになる。 後は、自力で解きましょう。

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質問者からのお礼

(1)a≧1 (2)0≦a<1 (3)1/2≦a+1<1 (4)0≦a+1<1/2 (5)0≦a+2<1 (6)a+2<0 の6通りです。 宜しくお願いします。

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