合成関数の微分

質問

今までたくさんの方にお世話になっていますが、今回もよろしくお願いします。

合成関数の微分の証明なんですけど、

(d^2)γ/ds^2 / |(d^2)γ/ds^2|
= {(dγ/dt)*((d^2)γ/dt^2)}*(dγ/dt)
/ |{(dγ/dt)*((d^2)r/dt)}*(dγ/dt)|

を示す、というものです。
つまり、パラメータをsからtに変えて表したいんです。
与えられているのは、
γ(t)=(x(t),y(t),z(t))
ds/dt = |dγ/dt|
で、
dγ/ds = dγ/dt * dt/ds
= dγ/dt / |dγ/dt|
ですよね。
これで、まず、分子の(d^2)γ/ds^2を計算しようと思ったんですけど、展開式（？）は
(d^2)γ/ds^2 = d/ds * dγ/ds
= d/dt * dt/ds * dγ/dt * dt/ds
であっていますか？
これがうまく計算できずに困っています。
どなたか教えてください。

回答No.3

endlessriver · ベストアンサー

(1)×(2)の「×」は外積の意味です。
「・」はスカラーの場合は普通の積（無くても良いが見やすく分離するため）、ベクトルの場合は内積の意味です。
(1)(2)の各式は理解できましたが、その次が分かりません。
(1)×(2) = γ^×γ^^
= γ's^×(γ''・(s^)^2 + γ'・(s^^))
= (γ's^×(γ''・(s^)^2) + (γ's^×γ'・(s^^))
は難しく考えず一気に次式まで進んで下さい。ベクトルの外積順序を入れ替えないようにスカラーをまとめればよいのです。
= γ'×γ''・(s^)^3 + γ'×γ'・(s^s^^)
するとこの式には任意のベクトルをAとするとA×A(≡0)となるところがあります。

すると最後の式は結局（γ'×γ''）×γ'の計算というか簡略化になります（スカラーの係数を除いて）
これはベクトル外積の公式(A×B)×C=-(C・B)A+(C・A)Bを使って分解します。
あとベクトルの内積(γ'・γ')などは当然スカラーです。

お礼

大変参考になりました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

endlessriver

(d^2)γ/ds^2 = d/ds * dγ/ds
= d/dt * dt/ds * dγ/dt * dt/ds
は順序などが不明なので何ともいえません。

表示の簡単化のため便宜上、sの微分を「'」で、tの微分を「^」で示します（tの微分は通常の記法ではドットを使います）。
(1)γ^=dγ/dt=(dγ/ds)(ds/dt)=γ's^
(2)γ^^=d^2γ/dt^2=d(dγ/dt)/dt=d(γ's^)/dt...(1)より
　　　=d(γ')/dt・s^+γ'・d(s^)/dt
　　　=d(γ')/ds・(ds/dt)・s^+γ'・(s^^)
　　　=γ''・(s^)^2+γ'・(s^^)

(1)×(2)を計算。γ^×γ^^の右辺で同じベクトルの外積が出てくるので、この項は０。
{(1)×(2)}×(1)を計算。(γ^×γ^^)×γ^の右辺の３ベクトル外積を内積に変換する公式を使うと内積γ'・γ''が出てくるが、これは０であることを示す。

まずdγ/ds = dγ/dt / |dγ/dt|は理解されているので、これ　γ'=dγ/dsは単位（接線）ベクトルであることは上式から明らかです。すなわち、内積γ'・γ'=1。　これをsで微分するとγ'・γ''=0となり、上記にこれを代入すると

(γ^×γ^^)×γ^の右辺は(γ'・γ')γ''の項のみとなる。すなわち、これらのベクトルの方向は一致している。終り。

補足

回答ありがとうございます。
まだ理解できない点があるので、教えてください。

(1)×(2)の「×」は外積の意味でしょうか？
そうしたら(2)の「・」は内積の意味に？？
(1)(2)の各式は理解できましたが、その次が分かりません。
(1)×(2) = γ^×γ^^
= γ's^×(γ''・(s^)^2 + γ'・(s^^))
= (γ's^×(γ''・(s^)^2) + (γ's^×γ'・(s^^))
となりますか？そのあとの展開もさっぱり分からないので、指針を出して頂けると嬉しいです。

回答No.1

iceforceless

(d^2)γ/ds^2 = d/ds * dγ/ds
= d/dt * dt/ds * dγ/dt * dt/ds
ではあっていないと思います。

d/ds * dγ/ds としたときのd/dsがどこにかかっているかを考えてみるといいと思います。
はじめのd/dtがどこにかかっているのかが見えてくると思います。

お礼

そういう風に考えるんですね。
ありがとうございます、やってみます。