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全微分で2階導関数を求めるについて

Z=f(X,Y),X=φ(t)Y=Ψ(t)がC2級のときtの関数Z=f(φ(t),Ψ(t))の2階導関数を求める問題の解き方が分かりません。 1階導関数は、全微分の公式を用いてすぐ求めることができるのですが、2階導関数の場合、d/dtを両辺に掛けたとき1階導関数を求めたときに式に現れる∂z/∂xに対してどのように式を変形していけばいいのかわかりません。回答よろしくお願いします。

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  • 回答No.2

 #1です。  補足を拝見しました。 >でも両辺をdt^2で割った式が、 >d^2Z/dt^2=(∂^2Z/∂x^2)dx^2/dt^2+2(∂^2Z/∂x∂y)dx/dt・dy/dt+(∂^2Z/∂y^2)dy^2/dt^2+(∂Z/∂x)d^2x/dt^2+(∂Z/∂y)d^2y/dt^2 >となるみたいですが、なぜ後半の式が二つ増えるのかがわからないです。  zのtに関する2階微分が欲しかったのですね。  気が付かずに、ごめんなさい。  最後の2つの項が増える理由は、たとえば(∂Z/∂x)dxの微分でdxに対してもtで微分しかければならないからです。  元の式から説明してみます。   dZ/dt=(∂Z/∂x)dx/dt+(∂Z/∂y)dy/dt  この右辺の第1項をtで微分してみますと、積の微分を考慮して、次のようになります。   (第1項の微分)={∂/∂x(∂Z/∂x)dx/dt}dx/dt+{∂/∂y(∂Z/∂x)dy/dt}dx/dt+(∂Z/∂x)d/dt(dx/dt)          =(∂^2Z/∂x^2)dx^2/dt^2+(∂^2Z/∂x∂y)dy/dt・dx/dt+(∂Z/∂x)d^2x/dt^2  同様に、第2項をtで微分しますと、次のようになります。   (第2項の微分)={∂/∂x(∂Z/∂y)dx/dt}dy/dt+{∂/∂y(∂Z/∂y)dy/dt}dy/dt+(∂Z/∂y)d/dt(dy/dt)          =(∂^2Z/∂x∂y)dx/dt・dy/dt+(∂^2Z/∂y^2)dy^2/dt^2+(∂Z/∂y)d^2y/dt^2  これらを足し合わせて整理すると、お示しになった式が得られます。

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  • 回答No.1

 1階の全微分は次のようになったのですよね。   dZ=(∂Z/∂x)dx+(∂Z/∂y)dy  2階の全微分は、これをさらに微分すればよいわけですが、ご質問にあるとおり、∂Z/∂xや∂Z/∂yの部分を気をつけなければなりません。これらは共にxとyの関数なので、それぞれ1階微分のときと同じように合成関数の微分を行わなければなりません。  つまり次のようになります。   d^2Z={(∂^2Z/∂x^2)dx^2+(∂^2Z/∂x∂y)dydx}+{(∂^2Z/∂x∂y)dydx+(∂^2Z/∂y^2)dy^2}     =(∂^2Z/∂x^2)dx^2+2(∂^2Z/∂x∂y)dxdy+(∂^2Z/∂y^2)dy^2  ちなみに、高階の微分や他変数の微分などについては下記URLに記載がありますので、良ければ参照してください。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%BE%AE%E5%88%86#.E5.85.A8.E5.BE.AE.E5.88.86

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質問者からの補足

回答ありがとうございます。 でも両辺をdt^2で割った式が、 d^2Z/dt^2=(∂^2Z/∂x^2)dx^2/dt^2+2(∂^2Z/∂x∂y)dx/dt・dy/dt+(∂^2Z/∂y^2)dy^2/dt^2+(∂Z/∂x)d^2x/dt^2+(∂Z/∂y)d^2y/dt^2 となるみたいですが、なぜ後半の式が二つ増えるのかがわからないです。

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