最大化問題について

質問

max x+y+2z
subject to x^2+2y^2+2z^2=1

上記のような最大化問題の解法についてですが、
目的関数 x+y+2z=k とおき、x,y,zのいずれかの
文字を消去するかたちで、制約式 x^2+2y^2+2z^2=1
に代入して求めればいいような気がするのですが、
どのように進めればいいのかが分からず、困って
おります。宜しくお願い致します。

回答No.2

onakyuu

初等的に解くなら、
X=x
Y=√2 y
Z=√2 z
とおくと、条件は X^2+Y~2+Z^2=1 となるので
ベクトル(X,Y,Z)は大きさが１のベクトルです。
x+y+2zは、(X,Y,Z)と(1, 1/√2, √2)の内積なので、
これが最大値を持つのは２つのベクトルが平行の
場合になりますので答えは、(1, 1/√2, √2)の
大きさ√3.5になります。

もちろん一般的にはNo1の方のいうとおりラグランジュの
未定乗数法を使わないといけません。

回答No.1

at9_am

> 目的関数 x+y+2z=k とおき、x,y,zのいずれかの
> 文字を消去するかたちで、制約式 x^2+2y^2+2z^2=1
> に代入して求めればいいような気がする

これは誤りです。というのも、変数は一つしか消去出来ませんが、変数は x,y,z,k の４つありますから、結局３変数の条件なし最大化問題を解くという事になりますので、一変数のような扱いは難しいでしょう。

この手の問題にはラグランジュ乗数法という解法があります。証明はしませんが、
L = x + y + 2z - λ(x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 1)
とおくと、∂L/∂x=0、∂L/∂y=0、∂L/∂z=0、∂L/∂λ=0 を満たす解が最大化(最小化)問題の一階の条件を満たす、というものです。

この問題では一階の条件を満たす解は一つしかないので、一階の条件を満たす解＝最大化問題の解となります。

お礼

ご親切にご回答頂きまして、誠に有難うございます。
「ラグランジュ乗数法」について調べてみます。

補足

「ラグランジェ乗数法」について調べてみましたが、
自身の解答が間違っているような気がしましたので、
さらに質問をさせて頂きます。
宜しくお願い致します。

この問題に対応するラグランジェ関数Lの必要条件である
連立方程式
（∂L/∂x=0，∂L/∂y=0，∂L/∂z=0，∂L/∂λ=0）
を解くと、
(x,y,z)=(√14/7,√14/14,√14/7),(-√14/7,-√14/14,-√14/7)
となり、

本問題の解等としては、
「目的関数x+y+2zは、x=√14/7,y=√14/14,z=√14/7のとき、
最大値√14/2をとる。」

でいいのでしょうか？
どこか途中の計算がおかしいでしょうか？

このとき、(x,y,z)=(-√14/7,-√14/14,-√14/7)の場合には、
目的関数は、最小値（極小値？）をとるということなのでしょうか？

at9_amさんがおっしゃられているように、
「この問題では一階の条件を満たす解は一つしかないので、」
ということは、そもそも、
(x,y,z)=(-√14/7,-√14/14,-√14/7)は連立方程式の解として
適当ではないのでしょうか？

お手数をおかけしたしますが、宜しくお願い致します。