最大化・最小化問題について

質問

Max and min -2xy+y^2
subject to x^2+y^2=1　(-∞<x,y<∞)

上記のような最大化・最小化問題の解法についてですが
目的関数　-2xy+y^2=k とおき、x,y　いずれかの文字を
消去する形で　x^2+y^2=1　に代入して求めればいいよう
な気がするのですが、進め方がわからず困っています。
どなたかよろしくお願い致します。

回答No.4

take_5 · ベストアンサー

＞単なる三角関数の最大値と最小値の問題に還元される。

x＝cosθ、y＝sinθ　（0≦θ＜2π）と置けるから、Ｐ＝-2xy+y^2＝-2（cosθ）*（sinθ）＋（sinθ）＾2＝-sin（2θ）＋（1-cos2θ）/2。
よって、1-2Ｐ＝2sin2θ＋cos2θ＝√5*sin（2θ＋α）であるから、｜sin（2θ＋α）｜≦1より、-√5≦1-2Ｐ≦√5。
即ち、（1-√5）/2≦k≦（1+√5）/2となる。

お礼

＞どうもありがとうございました。

三角関数で解けばすんなりできたのですね・・・・
別解のほうも参考になりました。

回答No.3

take_5

どうしてもと言うなら、質問者の言う解法でも出来ない事はない。。。。笑

2xy＝y＾2-kより、
(1)　y＝0の時、k＝0となるからこれも答えの一部。
(2)　y≠0の時　x＝（y＾2-k）/（2y）をx^2+y^2＝1に代入して整理すると、4y＾4-2*（k+2）y＾2+k＾2＝0となる。
従って、yの複2次方程式であるから、y＾2＝tとすると、tの2次方程式：4t＾2-2*（k+2）*t+k＾2＝0がt＞0の解を少なくても一つ持つためのkの条件として求められる。
しかし、2解の積＝k＾2≧0であるから　この2次方程式が正と負の解を一つずつ持つ事はあり得ない。
従って、2解共に正でなければならないから、判別式≧0、2解の和＝k+2＞0として求められる。
(1)と(2)から、答えは、（1-√5）/2≦k≦（1+√5）/2となる。

回答No.2

info22

> (-∞<x,y<∞)
(-1≦<x,y≦1)の間違いでは？

x=cos(t),y=sin(t)、（-π≦t＜π）とおくと
x^2+y^2=1は満たされる。
k=-2xy+y^2=-2cos(t)sin(t)+(sin(t))^2
=(1/2)-(√5/2)sin(2t+tan^(-1)(1/2))
-2π≦2t＜2πだから、sin(2t+tan^(-1)(1/2))=±1となるtが存在するから
min(k)=(1-√5)/2 (sin(2t+tan^(-1)(1/2))=1の時）
max(k)=(1+√5)/2　(sin(2t+tan^(-1)(1/2))=-1の時）

min,max時の(x,y)を求める必要があるなら
sin(2t+tan^(-1)(1/2))=±1の時の(x,y)を求めるだけです。

お礼

＞どうもありがとうございました。

回答No.1

take_5

一番簡単なのは。。。。。笑

x^2+y^2＝1より、x＝cosθ、y＝sinθ　（0≦θ＜2π）と置けるから、Ｐ＝-2xy+y^2に代入して解く方法。
単なる三角関数の最大値と最小値の問題に還元される。