最大化・最小化問題について

質問

Max and Min 　x^2-2xy+2y^2
suject to 　x^2+y^2=1　(-∞＜x,y＜∞）
以下の設問に答えよ。

（１）最大・最小化問題をできるだけ多くの方法で解け
（２）最小化問題に対する逆問題（i)、および最大化問題に対する逆問題（Ｉ）を述べて、それぞれ解け。
（３）最小化問題に対する双対問題(d)、および最大化問題に対する双対問題（Ｄ）を述べて、それぞれ解け。

　上記のような問題なのですが、（１）は三角関数に置き換えて解けたのですが（２）（３）の逆問題、双対問題がよくわからず、手のつけようがありません。
　また、（１）についても他に解き方があれば、教えていただけないでしょうか。（どんなマニアックな回答でも大歓迎です）
　どなたか宜しくお願い致します。

回答No.1

echoes_x86

こんばんは．

(1)はRayleigh商の最小，最大に等しいので固有値問題で解いてもいいでしょう．
ベクタ z = [x y]^T とし(^Tは転置記号)，対称行列Aを以下で定義すると
[ 1 -1]
[-1 1]
表題の最小化，最大化問題は次のzの関数(AのRayleigh商)の最小化，最大化問題として書けます．
(z^T*A*z)/(z^T*z)
この問題の最大値はAの最大固有値である2，最小値は最小固有値である0です．