高校レベル 三角関数の近似公式について

質問

xが十分に小さいとき、sin x=tan x=x,cos x=1とみなせるようですが、この根拠がどうしても分かりません。
　sin x=xについては、xをゼロに飛ばしたときの極限値(sin x)/xから来るだろうと予想はしております。
その他についても、是非、お力をいただけたらと思います。
よろしくお願いいたします！

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

大学での数学でマクローリン展開を習えば、xが小さい時
sin x, tan x, cos x　の無限級数展開が出来ますので直ぐ分かると思います。
高校レベルでは
|x|が十分小さいとき、それらの関数の近似式は
x＝0における接線で近似できることを使えばいいですね。

例えば
f(x)=sin x のとき
f'(x)=cos x，f'(0)=1,f(0)=0 から
y=sin x の x=0における接線は
y= 1(x-0)+f(0)=x　≒ sin x (|x|<<1)
これが sin xの近似式になります。
xが小さいほど近似の精度がよくなりますね。

同様に
f(x)=tan x のとき
f'(x)=1/(cos x)^2，f'(0)=1,f(0)=0 から
y=tan x の x=0における接線は
y = 1(x-0)+f(0)=x ≒ tan x (|x|<<1)
sin xと同じ近似式になりますね。

同様に
f(x)=cos x のとき
f'(x)=-sin x，f'(0)=0,f(0)=1 から
y=cos x の x=0における接線は
y = 0(x-0)+f(0)=1 ≒ cos x (|x|<<1)

となり、これが cos xの近似式となりますね。

お礼

早速のご回答非常にありがたいです！
求めていたお答えをいただき、本当にありがとうございました！

回答No.1

tonarino

表を書いてみましょう。

x軸y軸と(0,0)を中心に円を書いてみてください。
さらに(0,0)を通るx軸との角度(x)がものすごく小さい
直線を引いてみてください。

sinｘはものすごく小さいし、この直線の傾きも小さい
のでtanｘもものすごく小さくなりますよね？

cosxは円とx軸との交点に近くなるので１に近い値に
なります。

・・・・感覚的な理解の方法なので質問者の方と意図は
違うかもしれませんが

お礼

早速のご回答非常にありがたいです！
イメージでとらえる方法はこれからも大切にしたいと思います！
ありがとうございました！