三角関数の問題:tanθ=-2√2のとき、sinθとcosθを求めよ。
- 三角関数の問題で、tanθ=-2√2のとき、sinθとcosθを求めたい。
- 問題を解くためには1+tan^2θ=1/cos^2θの公式を使う。
- cosθ=1/3のとき、sinθ=-2√2/3。cosθ=-1/3のとき、sinθ=2√2/3。
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三角関数
「tanθ=-2√2のとき、sinθとcosθを求めよ。」 という問題なのですが、 1+tan^2θ=1/cos^2θの公式を使って 1+8=9よりcos^2θ=1/9 ∴cosθ=±1/3 cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3 cosθ=-1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3 となってしまいました。 答えはcosθ=1/3のとき、sinθ=-2√2/3 cosθ=-1/3のとき、よりsinθ=2√2/3 です。 単位円を書けばわかるのですが、計算としてどうして正負がおかしくなっているのか知りたいです。 計算の途中でやってはいけないことをしていないか、お教えいただきたいと思います。 どうぞよろしくお願いします。
- fff_fff
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質問者が選んだベストアンサー
こんにちは、 式変形は、同値でなければなりません。 あなたの場合、いきなり 1+tan^2θ=1/cos^2θの公式を使っていますから、tanθが負であることが、 抜けて飛んでしまいます。 したがって、この式を使うときに、tanθが負である条件を書き添えねばなりません。 そして、 cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3 と出たときに、 ただしtanθが負であるから、sinθが負であるので sinθ=ー2√2/3 を書き加えるべきなのです。 もう一方も同じです。 やってはいけないのは、「同値変形である条件を書くことを忘れる。」 です。
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- asuncion
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>tanθ=-2√2のとき tanが負であるということは、すなわち、 sinとcosの符号が相異なる、 つまり、第2・第4象限に関する話をしている、ということです。
お礼
ありがとうございました。
- takkochan
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>cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3 計算上そうであっても cosθ=1/3の時、sinθ=2√2/3 であれば、tan=2√2と成りますから不適。よってsinθ=-2√2 >cosθ=-1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3 これも同様です。 また、この問題はわざわざ2倍角の公式を使わなくても (sinθ)^2+(cosθ)^2=1を使えば解けます。
お礼
ありがとうございました。
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