三角関数の極限の基本的な質問

質問

こんにちは。
現在極限の勉強をしているものです。
しかし、極限の内容というよりは
三角関数の式を変形する過程に
とまどっています。

たとえば、Sin[2x]/3x=(2/3)*Sin[2x]/2xと
だとします。

私のような初心者の感覚だと、
Sin[2x]/3x=(2/3)*Sin[x]/xとしてしまうのですが
これは間違いでしょうか？

また、
x/Tan[3x] x->0
の極限を求めるにはどうしたらいいのでしょうか
とりあえずTanをsin/cosという形に
直してみたのですが
その後どう処理したらいいのかがわかりません。
うまく変形してSin[x]/x=1 limx->0
にもっていければいいのですが…

一問一問つっかかってしまって
なかなか学習が進みませんが
最初はそういうものだと割り切って
頑張っています。
どうか、みなさんのお力添えを
宜しくお願いいたします。

回答No.1

akn1aj · ベストアンサー

＞…私のような初心者の感覚だと、Sin[2x]/3x=(2/3)*Sin[x]/xとしてしまうのですがこれは間違いでしょうか？
はい、間違いです。例えばsinπ/4 = 1/√2ですが、sinπ/2 = sin(2・π/4)= 1で、≠2・1/√2 = √2です。第一 |sinx|＞1はありえません。sinxは非線形関数なので sin(ax)≠asinxなのです。 　

＞…x/Tan[3x] x->0の極限を求めるにはどうしたらいいのでしょうか
そもそもtanx/x = (1/cosx)・sinx/xですよね。1/cosx →1, sinx/x →1(x->0) ですから、tanx/x→1(x->0) です。これも準公式です。従ってまた、x/tanx→1(x->0) です。よって、x/tan(3x) = (1/3)・｛3x/tan(3x)} →1 /3(x->0)です。[ここで、3x/tan(3x) →1 (x->0) はわかりますね。]

お礼

ありがとうございました。
じっくりノートに書きながら考えて
みます。非線形というのも言葉としては
あまりなじみがないですがsin(ax)≠asinx
はなるほどなというかんじです。
迅速なご回答ありがとうございました。

回答No.2

postro

>Sin[2x]/3x=(2/3)*Sin[x]/xとしてしまうのですが
>これは間違いでしょうか？
2x を　Ｚ　とでもおいて、(2/3)*Sin[Ｚ]／Ｚ　とするのはかまいませんが、
これはまずいでしょう。
ｘが変化するとき、Sin[2x]　の変化と　Sin[x]　の変化は当然ちがいますよね。
だから　Sin[2x]／ｘ　と　Sin[x]／ｘ　はちがいます。

x/Tan[3x] ＝(xcos[3x]/sin[3x]) = (3x/sin[3x])(cos[3x]/3)
というふうに式を変形すれば
x->0　のとき　(3x/sin[3x]) -> 1　、(cos[3x]/3) -> 1/3
とわかります。

お礼

ありがとうございます。
どんどん勉強を進めていきたいと思います。
迅速なご回答本当に感謝しています。
ポイントですが、どちら様にも20ポイントを
差し上げたいのですが、
先にご回答いただきました方に20ポイントを差し上げました。
ご了承いただけますよう宜しくお願い申し上げます。