極値からの関数決定問題について質問です

質問

わからない問題があったので質問します。三次関数はf(x)=x^3+Px^2-24x+qは、x=aで極小値２をとり、x=-4で極大値mをとるような定数p,q,a,mの値を求めよ。という問題で自分で解いた解答は
f(x)=x^3+Px^2-24x+q　 　ｆ'（ｘ）＝3x^2+2px-24
f(a)=a^3+a^2p-24a+q=2＿(1)　 　f'(a)=3a^2+2ap-24=0＿(2)
f(－４)=－６４+16p+96+p=m＿(3) f'(-4)= 48-8p-24=0＿(4)　　　　(4)よりｐ＝３これを(2)に代入してa=-4,2 　
　 a=-4,p=3のとき(1)へ代入してq=-78(3)に代入してｍ＝２よって
a=-4,p=3,q=-78,m=2
a=2,P=3のとき(1)に代入してq=30(3)に代入してｍ＝３
よってa=2 m=110 p=3 q=30
a=-4,p=3,q=-78,m=2とa=2 p=3 q=30、m=110 このようになったのですが、参考書の答えにはa=2 p=3 q=30、m=110 でした。どうして求めた答えが一通りなのか分かりません。教えてください

回答No.5

age_momo · ベストアンサー

>三次関数はf(x)=x^3+Px^2-24x+qは、x=aで極小値２をとり、x=-4で極大値mをとる
ここでx=aで極小、x=-4で極大と言っているのですから

f'(x)=3x^2+2px-24=0・・・（A)

を満たす2解がa,-4と言う事ですよね。だから

f'(a)=0は必要条件ですが十分条件じゃ有りません。
ここで出てくる2解は極大と極小を指します。
極小だけを指しているわけではありません。

逆に言えば
a≠-4は明らかです。x=-4で重解を持つ方程式はk(x+4)^2=0ですが

k(x+4)^2≠3x^2+2px-24

は明らかですから。

普通は

(A)にp=3を代入して

3x^2+6x-24=3(x+4)(x-2)=0
x=-4,2
f(x)は-4と2で極値を持つ。よってa=2
とするんじゃないでしょうか。

ところでこういう場合は

(A)の式において解と係数の関係から

a+(-4)=-2/3p
-4a=-24/3=-8

よって
a=2
p=3
とする方が簡単ですよ。

お礼

理解できました。有難うございました。

回答No.4

oyaoya65

＞数IIの範囲で教えてください。お願いします

考え方は2通りあります。
●１つは、2通りの解を、解として適するかどうか検証することで、正しい答かを判定するやり方です。
解を当てはめてグラフを描くことで確認できます。

a=-4,p=3,q=-78,m=2の解の検証
============================

f(x)=x^3+3x^2-24x-78＿(A)
f'(x)=3(x^2+2x-8)=3(x+4)(x-2)＿(B)
f(a)=f(-4)=2＿(1)
f'(a)=f(-4)=0＿(2)
f(-4)=m=2＿(3)
f'(-4)=0＿(4)

(1),(2)の条件と(3),(4)の条件は
全く同一の条件となっていますね。
(1)の元の関数が最高次の次数が正の3次関数であり、
また
(B)が x=-4とx=2の根をもち,根の大小関係が
-4＜2
ですから
x=-4で極大値、x=2で極小値
を取ります。

問題の「x=aで極小値２をとり、x=-4で極大値mをとる」の記述のx=a(=-4)で極小値をとるという条件を満たしていません。

a=2 p=3 q=30、m=110の解の検証
=============================

f(x)=x^3+3x^2-24x+30＿(A)
f'(x)=3(x^2+2x-8)=3(x+4)(x-2)＿(B)
f(a)=f(2)=2＿(1)
f'(a)=f(2)=0＿(2)
f(-4)=m=110＿(3)
f'(-4)=0＿(4)

こんどは(1),(2)の条件は極小値の条件で
(3),(4)の条件は極大値の条件と
別の条件となっていますね。

(1)の元の関数が最高次の次数が正の3次関数であり、
また
(B)が x=-4とx=2の根をもち,根の大小関係が
-4＜2
ですから
x=-4で極大値、x=2で極小値
を取ります。

問題の「x=aで極小値２をとり、x=-4で極大値mをとる」の記述のx=a(=2)で極小値2、x=-4で極大値m=110をとるという条件を満たしています。
したがって、正しい答えです。

●もう１つの方法はグラフの増減表を描く方法です。

f"(x)が使わないで説明するとすれば、
関数の増減表を使うことになります。

x=-4で極大値をもつことから
f'(x)=3x^2+2px-24
f'(-4)=48-8p-24=8(3-p)=0 ∴p=3
f'(x)=3(x-2)(x+4)
f'(x)=0の根：-4と2
-4＜2からx=-4で極大、x=2で極小
∴a=2
∴f(x)=x^3+3x^2-24x+q

f(x)の増減表

x |-∞| ... |-4| ... |2| ... |+∞|
f'(x)|+∞| + | 0| - |0| + |+∞|
f(x) |-∞| 増加 | m| 減少 |2| 増加 |+∞|
↑
(キー入力通りに縦の線が正しく表示されませんので「| |」で挟まれた値が縦にそろっているとみなして下さい。)

極小値f(2)=8+12-48+q=q-28=2 ∴q=30
極大値f(-4)=-64+48+96+30=110=m ∴m=110

以上からa,p,q,mのすべての値が決定できていますね。

お礼

理解できました。有難うございました。

回答No.3

oyaoya65

以下の２つの条件を忘れていませんか？

f"(x)=6x+2pを求めておいて

1) x=-4で極大値の条件：上に凸の条件
f"(-4)=2(p-12)＜0

2) x=aで極小値の条件：下に凸の条件
f"(a)=2(3a+p)＞0

1)と2)から
p＜12 かつ　3a+p＞0◆

質問者の2通りの解で
p=3＜12は満たしていますが
a=-4,p=3の場合は
3a+p=-12+3＜0で◆の後半の条件を満たしません。
a=2,p=3の場合は
3a+p=6+3＞0で◆の後半の条件を満たします。

解の一方だけが条件を満たします。

お分かりでしょうか？

補足

2回微分しているということは数三の範囲でとくのですか？この問題は数IIの問題集からの問題なのですけど、数IIの範囲で教えてください。お願いします

回答No.2

aqfe

＃１です。
＞x=aで極"小"値2をとるのでf''(a)<0、
＞x=-4で極"大"値mをとるのでf''(a)<0
は、

x=aで極"小"値2をとるのでf''(a)>0、
x=-4で極"大"値mをとるのでf''(-4)<0

の書き間違いです。
すみませんm(_ _)m

お礼

理解できました。有難うございました。

回答No.1

aqfe

x=aで極"小"値2をとるのでf''(a)<0、
x=-4で極"大"値mをとるのでf''(a)<0
の条件が必要です。

ちなみに「a=-4,p=3,q=-78,m=2」だと
　x=aで極"大"値2、x=-4で極"小"値m
になります。