楕円積分を考えている途中で・・・

質問

いつもお世話になっております。
今回は単振り子の周期を求めるべく、楕円積分について考えているのですが、途中で

(1-a*(sinθ)^2)^(-1/2)

という式をテイラー展開するためにθについてｎ回微分したものを考える場面にやってきました。何も考えずに帰納法でやろうとしたのですが、どうも規則性を見出すことができません。ｎ回微分した時の一般的な表し方はあるのでしょうか？それとも、特殊な方法が存在して、その方法で上式を展開しているのでしょうか？どなたかご教授お願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

|a|<1なので、|a*(sinθ)^2|<1 なので、

x=a*(sinθ)^2とおいて、
|x|<1で収束する
(1-x)^(-1/2) =1 + 1/2x + 3/8x^2 + …
を使ってください。

実際の応用問題で、手でテイラー展開する場合、
公式どおりに直接、n階微分を求めるのではなくて、
問題の関数をテイラー展開できる関数の合成関数とみて、１こずつ展開していくってことをよくやります。

お礼

毎度返事が遅くなってしまい、たいへん申し訳ございません。
ｘのおきかたひとつでとまどっていましたorz
たいへん参考になりました。お陰さまで単振り子の周期を求める所まではできるようになりました。次は軌道を求めて、周期が振幅によらない振り子について考えていきたいと思ってます。
以前rabbit catさんにご紹介していただいたページから物理のことについて色々と考えを広げることができてとても助かっております。
アドバイスありがとうございます。

回答No.2

oyaoya65

＞ｎ回微分した時の一般的な表し方はあるのでしょうか？それとも、特殊な方法が存在して、その方法で上式を展開しているのでしょうか？

aが変数で入っているとn回微分は項数が増加してテイラー展開の一般項は簡単な形になりませんね。

直接、楕円積分を手計算で行うことは無理ですので、楕円関数の数値計算部分は、MathematicaやMapleなどの数学処理ソフトで行われた方が良いかと思います。

お礼

説明不足すみませんm(_ _)m
a というのは振幅に関係する定数で、θは振幅の範囲内で動く振り子の位置を表す変数です。
返事が遅くなってしまい、たいへん申し訳ございません。今後とも宜しくお願いします。ご回答ありがとうございます。