• 締切済み

微積の問題です

大学の微分積分の問題です。 1、lim n→∞(1/(sinx)^2-1/x^2) をテイラー展開を用いて解け 2、(sinx)^3 の0→π/2 の積分、(cosx)^6 の 0→2π の積分をそれぞれオイラーの公式を用いて解け 3、x√x/(1+√x) の積分の計算 わかるものだけでいいのでお願いします

みんなの回答

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

大学生なら丸投げは自身のためよくないよ。 丸写しするなら、あるいは結果の答えだけほしければ参考URLのサイトを利用するといいでしょう。 (1)は「テイラー展開を用いて解け」とあるならテイラー展開してみたらどうですか? テイラー展開ならどこにでも載ってるので自身で調べては? (2)参考URLのサイトで積分を実行すると 前半の答えは「2/3」、後半の答えは「5π/8」と出る。積分範囲を指定しなければ、不定積分をしてくれる便利サイトだよ。 (3)参考URLのサイトで不定積分を実行すると、不定積分を求めてくれる。「Show steps」をクリックすれば途中計算を含めた計算過程まで詳細に教えてくれる便利サイトだよ。 integrate(x^(3/2)/(1+sqrt(x)),x) と参考URLで入力し実行し、「Show steps」をクリックしてみなよ!詳しい解答が見られる。でもこれに頼りすぎると、丸写し人間、まったく自助努力しない人間になってしまうので注意すべし! 他力本願一辺倒は、大学に行き卒業しても、大学に行った意味は何もない。学生は学ぶときに一生懸命勉強すべきかと思うな。僕が学生のときは、宿題や課題は、その日の内に図書館に行って本を読み漁って解決したね。まったく自力本願を実行していたよ。 学生時代は一生懸命勉強しないといけないな。

参考URL:
http://www.wolframalpha.com/

関連するQ&A

  • オイラーの公式による加法定理の証明は循環論法?

    三角関数の加法定理は、大抵 ・単位円上の2点で余弦定理 ・オイラーの公式 を使って証明されると思います また、オイラーの公式による証明は通常テイラー展開が用いられると思います、そしてテイラー展開をするにはsinとcosのn次導関数を求める必要があります ここで、問題なのですが (sinx)'=cosx の導出は lim[h→0] {sin(x+h)-sinx}/x =lim[h→0] 2cos(x+2h)sin(h/2)/h 和→積の公式…* =cosx として通常行うと思います しかし、*の公式(の導出)では三角関数の加法定理を用いています これは循環論法に当たるのではないでしょうか? 皆さんはどう思いますでしょうか? また、もし循環論法ならどこを改善すればいいでしょうか?

  • 微積の問題です。

    以下のような問題に頭を悩ませております。 ふたつの関数f(x),g(x)は次の(I)(II)をみたしている。 この時次のf(x),g(x)をそれぞれ求めなさい。 (I)f(x)=πcosx+∫[π→x]g(t)dt (II)g(x)=cosx+(2/π)∫[0→x]f'(t)dt []内は積分範囲 この問題の解答が、次のようになっております。 ??に挟まれた部分が私の疑問です。 (I)の両辺をxで微分して、 f'(x)=πcosx+g(x) ?何故πcosxなのか。πsinxではないのか? 上式を(II)ヘ代入して、 g(x)=cosx+(2/π)∫[0→π]{πcost+g(t)}dt ?積分範囲は何故[0→π]に変わったのか。[0→x]ではないのか? ⇔g(x)=cosx+(2/π)∫[0→π]g(t)dt (A) 上式の積分項は定数。 以下省略 (A)の積分項が0と分かり、 従って g(x)=cosx f(x)=πcosx+sinx となっております。解答に記載されている式変形が理解できません。 分かる方、お教え頂けないでしょうか。

  • lim[x→0](sinx)/x=1 の厳密な証明、sinxの定義

    高校の教科書では、 0<x<π/2のとき,面積を考えて、 (sinx)/2<x/2<(tanx)/2 2をかけて、辺々の逆数を取ると, cotx<1/x<cosecx 辺々にsinxをかけると, cosx<sinx/x<1 lim[x→0]cosx=1 挟み撃ちの原理より,lim[x→0]sinx/x=1 と書かれています。 これを出発点として、(sinx)'=cosxが分かり、三角関数の微積分が構築されます。 しかし、面積は厳密には、積分で定義され、微積分学の基本定理から、微分の逆演算として計算されます。 すると、面積を用いて、lim[x→0](sinx)/x=1を証明するのは循環論法。 lim[x→0](sinx)/x=1 の厳密な証明を、sinxの定義とともに教えてください。

  • 極限値を求める問題

    いつもみなさんの問題解決のためのアイデアに感心しております。 今日行き詰まった問題は、以下のものです。 極限値を求めよ lim[x→0](1/x - 1/sinx) 変形すると lim[x→0]((sinx-x)/xsinx) 0/0の形になるから先日教えていただいたロピタルの定理を使って上下を微分し、 lim[x→0](cosx/(sinx+xcosx)) さらに上下を微分し lim[x→0](-sinx/(cosx+cosx-xsinx)) と置き換えて 答え”0”で良いのでしょうか? よくご存じの方、”正解”がついていないので、ご教示をお願いします。

  • 微積の問題なんですが…

    微積の問題なんですが… (1+x)^1/3のテイラー展開がわかりません。 答えには 1+1/3x-1/9x^2+‥+{(-1)^(n+1)・(3n-4)‼︎!}/(3n)!!!のx^n+o(x^n) となっています。 -1の階乗はn+1じゃなくて n-1じゃダメなんですか? あと(3n)!!!ってどういう計算になるんですか?なぜ(3n)!!じゃないんですか? お願いします。

  • オイラーの定理の証明方法

    新大学一年生です。 次のようなオイラーの定理の証明方法は正しいでしょうか?? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ e^ix=cosx+isinx を示す。 A(x)=cosx+isinx とおく。A'(x)=-sinx+icosx ∴A'(x)/A(x)=(-sinx+icosx)/(cosx+isinx )={(-sinx+icosx)(cosx-isinx)}/{(cosx+isinx )(cosx-isinx )}=i ∴A'(x)/A(x)=i の両辺をxで一回積分して log|A(x)|=ix+C (C:積分定数) ∴A(x)=e^(ix+C) ここでA(0)=cos0+isin0=1より、C=0 ∴A(x)=e^ix ∴e^ix=cosx+isinx ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 私にもわかりやすいのですが、ネットや本にはあまり載っていなく、別のテーラー展開を使ったものの方が多いです。 この方法は正しいのでしょうか?個人的には複素数で微分積分していいのかな?と疑問に思います。 新大学一年にもわかるように教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

  • 以下の二つの問題がどうしても解けません・・・。

    以下の二つの問題がどうしても解けません・・・。 (1)cosx^12をマクローリン級数に展開せよ。 (2)Σ(-1)^n*x^(4n-3)/(2n+1)!と展開されるxの関数を求めよ。    (シグマはn=0から∞です) (1)は(cosx^12)'=-12x^11*sinx^12 (cosx^12)"=-12*11*x^10*sinx^12-12*12*x^22*cos^12 としたところで、x=0を代入するとほとんどのものが消えるのですが、-12*12*x^22*cosx^12の部分はnを∞に持って行ったときには残ってしまいます。いろいろ試してみましたが、まったく上手くいきませんでした。 (2)はマクローリン級数のsinxやcosxなどの定理から考えてみましたが、これも解答にはたどりつけませんでした。 すみませんがどなたかよろしくお願いします。

  • 三角関数の微分(sinX)'=cosXの証明について

    こんにちは。 (sinX)'=cosXの証明について、 (1)     sinX(cosΔX-1)+cosXsinΔX    =lim----------------------------       ΔX→0    ΔX                cosΔX-1        sinΔX (2)  =sinX × lim----------- + cosX × lim----------           ΔX→0  ΔX      ΔX→0  ΔX  このように証明が進む部分が ありますが、 この部分の意味が良く分かりません。 微分の和を2つに分けて(ここは分かります)、 sinX、cosXをlimの外にだして しまっているようですが、定数なら、 前に出せても、sinXを前に出してしまうのは、 可能なのでしょうか。 数学を勉強したのは、かなり前ですが、 最近趣味で、微分の本を読んでいたら、 sinの微分の部分で、躓いてしまいました。 こういう公式がある、定理がある、 というアドバイスだけでも結構です。 何か分かる人がいましたら、 よろしくお願いします。

  • 極限値について

    極限値についておしえてください。 (1)lim(n→∞)(√(n^2+n+1)-n) =lim((n^2+n+1)-n^2)/√(n^2+n+1)+n) =lim n+1/(√(n^2+n+1)+n) ここまでしかわかりません。 (2)lim(x→0) tanx-sinx/x^3 tanx-sinx=(sin/cosx)-sinx =(sinx-sinx cosx)/cosx =(sinx(1-cosx))/cosx より (tanx-sinx)/x^3 =(sinx(1-cosx))/x^3(cosx) =(1/cosx)・(sinx/x)・(1-cosx)/x^2 ここまでしかわかりません (3)lim(x→∞) x{log(2x+1)-log2x} =xlog(2x+1/2x) =log(1+(1/2x)^2 ここまでしかわかりません (4) lim(x→1) [-x^2+2x+2] ([ ]はガウス記号) ガウス記号についてはよくわからないのですが、 ガウス記号を考えないでとくと -x^2+2x+2 =-((x-1)^2)+3 ここまでしかわかりません ご親切におしえてください おねがいします

  • e^(2x)*sinx  *は積 のテーラー展開は?

    こんにちは。  f(x)=e^(2x)・sinX をテーラー展開して一般項を考えることをしています。  微分していきます。  f'(x)=2e^(2x)・sinX+e^(2x)cosX  f^(2)=4e^(2x)・sinX+2e^(2x)・cosX+2e^(2x)・cosX-e^(2x)・sinX となると思います。  さて、そもそもテーラー展開とはなんぞや?ということもありますが、この先どのように解を導けばいいのか、方法だけでも、あるいは 一般項だけでも教えてください。  よろしくお願いします。