• ベストアンサー

テーラー展開時のオーダーについて

x=0において何位の無限小になるか sinx-x この問題で解説には 「テイラー展開してsinx=x-x^3/3! + o(x^3) であるから、sinx-x=O(x^3)」 スモールオーダーってのはたしか an=o(bn)<=>lim(n→∞)an/bn=0 ということですよね? sinx=x-x^3/3!+x^5/5! … だから lim(n→∞)(x^5/5!)/x^3≠0??? どこの考え方が間違ってるかご教授お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

この場合の o(・) ってのは「x→0 の極限で比が 0 に収束する」って意味で lim(x→0) (x^5/5!) / (x^3) = 0 だから sin x = x - x^3/3! + o(x^3).

newcolleger
質問者

お礼

x→0の極限でしたか^^; 勘違いでした。 ありがとうございました。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • テイラー展開

    テイラー展開 教科書に「n=3として、f(x)=sinxのx=π/4におけるテイラー展開を求めよ。」という問題があります。 f(x)=sinxは無限回微分可能。 n=3 a=π/4 としてテイラー展開を行う。 n=3なので、テイラーの定理に(n+1)乗まで、a=π/4を当てはめればいい。 そして、f(x)、f'(x)、f''(x)…と、(n+1)回微分まで求めて、求めた値f(π/4)、f'(π/4)、f''(π/4)…をテイラーの定理に代入する。 講義のルーズリーフをなくしてしまい、記憶で解いていたのですが果たして考え方が合っているのか不安です。これでいいんですよね?

  • テイラー展開

    数学についての質問です。 解説お願いします。 問:次の関数の与えられた点のまわりでの、3次までのテイラー展開を求めよ。 (1)2/(x+1) (x=0) (2)sinx +cosx(x=π/3) (3)e^-x (x=1) 問:f(x)=arctanxについて以下の問いに答えよ。 (1)f(x)の、x=0のまわりの2次までのテイラー展開を求めよ。 (2)lim(x→0)arctanx-x/x^3 を求めよ。

  • 解析学(テーラー展開等)の問題です。

    解析学(テーラー展開等)の問題です。 よろしくお願いします。 f(x)=1/√(x+1)のx=0のまわりのテーラー展開をx^3の項まで求めよ。 x=0のまわりのテーラー展開を用いて、次の極限値を求めよ。 lim(x→0){(sinx-x)/(e^x-1-x-(x^2/2))} ロピタルの定理を用いて、次の極限値を求めよ。 lim(x→0){(e^x+e^(-x)-2)/x^2} よろしくお願いします。

  • テイラー展開を含む極限の問題

    テイラー展開を含む極限について教えて下さい。次の問題の解説をお願いします。 テイラー展開を利用して、以下の極限値を求めなさい。 (1)lim(x→0)[{1-(1/2)x^2-cos(x)}/x^4] (2)lim(x→0)[{sin(x)-(x-(1/3!)x^3)}/x^5] テイラー展開を使えば5秒で解けると言われたのですが、どうなのでしょうか。結果だけでなく、途中経過もお願いします。 よろしくお願いします。

  • テイラー展開について教えてください。

    テイラー展開に関する問題です テイ ラー展開に関する問題です。 (1)以下の関数のx=0を中心としたテイ ラー展開をし、一般項を書け。 (i)cosx (ii)1/(1-x) (2)x=0を中心とした1/(2-x^2)のテイラ ー展開をし、一般項を書け。 (3)x=0を中心とした(cosx)/(2-x^2)のテ イラー展開をx^6の項まで求めよ。 (4)lim[x→0](1/x^4){(cosx/(2-x^2))-(1/2)}を求めよ。 以上です。 自分でも求めたのですが、あってい るかが分かりません。 確認お願いします。 (1)(i)cox=Σ[n=0→∞]((-1)^n)(x^(2n))/(2 n)! (ii)Σ[n=0→∞]x^n (2)1/(2-x^2)のテイラー展開は自信が ないのですが、これをテイラー展開 の式に代入して求めていくとすごく 時間がかかるので、 1/(2-x^2)=(1/2){1/(1-(x^2/2))}と変形し 、(1)の(ii)と同じようにして、Σ[n=0→ ∞](1/2)(x^2/2)^nとなりました。 果たして、これでいいのでしょうか ? (3)たぶんこれは(1)と(2)の結果を使え ということだと思うのですが、これ は(cosx)と1/(2-x^2)のそれぞれの項を かければいいだけですか? たとえば、1項は、cosxの1項目の1 と、1/(2-x^2)の1項目の1/2をかけて 、1/2となるのでしょうか? (4)これはちょっと分からないです。1 /x^4がかかっているので、テイラー 展開したものでも分母にxの項が入っ てしまい、発散しそな気がしたので すが、そんなはずはないので、よくわからないです 回答よろしくお願いします。

  • テーラー展開とマクローリン展開

    独学なのでいまいちはっきりわからなく。。。 f(x)のテーラー展開 Σ(n=0~∞) (☆/n!)(x-a)^n (☆はf(x)をn回微分したものにaを代入した値) 1)マクローリン展開はテーラー展開の一種である。(テーラー展開のaに0を代入したものをマクローリン展開という) 2)aに代入する値は別に何の数字であっても展開はできる 3)テーラー展開は基本的に無限回微分可能な関数をf(x)=多項式の形に直すのに使われる という理解でいいのですか? 間違ってたら訂正お願いします。 またこれはいつ使うのでしょうか。。?

  • lnx のテイラー展開について

    lnx を、x=1でテイラー展開したとき、 テイラー級数が、区間(0,2]で lnx に収束することを 余剰項 R_n をつかって、区間(0,2]で lim   | R_n |= lim { 1/(n + 1) }*| (x - 1)/z |^(n+1) = 0 n -> ∞     n -> ∞ (zはxと1の間の数) とすることで証明したいのですが、どうしても0に収束させることが できません、、、やり方を知っている方がいたら教えてください。 zのとり方だけでもかまいません。

  • オーダーについて

    {An}を基準になる数列(An≠0)とする。{An}が0に収束する。 このとき{Bn}が{An}のスモールオーダーだったとすると、{Bn}は{An}よりも早く0に収束することを示していますよね? またもし、{Bn}が{An}のラージオーダーだったとすると、{Bn}は{An}と同程度以上の速さで0に収束することを示していますよね? ここでなんですが、{Bn}は{An}のスモールオーダーであるときには、{Bn}は{An}のラージオーダーでもあるが、逆は成り立たないらしいのですが、どうしてでしょうか?「同程度の速さ」がラージオーダーに入っているわけだから、ラージの時にスモールになるのではないのですか? とても初歩的ですみません。。。

  • テイラー展開の問題が分かりません

    大学の課題で出された問題が分かりません。どなたか教えてください。 (1)x=0において、テーラーの定理を用いて、sinxを「2次(以下の)式」+「剰余項」の形に表せ (2)(1)を利用して次の極限を求めよ。 lim(x→0)(1/x^2 - 1/sinx^2) 読みづらいかもしれませんが、(2)の式は(xの2乗分の1)-(sinxの2乗分の1)ということです。どなたかお願いします。

  • 数IIIの数列の極限の問題

    数列{an}に対してlim(an+5/2an+1)=3であるとき limanをもとめよ n→∞ 解説にbn=an+5/2an+1とおいて とかいていますが そこからan(2bn-1)=5-bn ↓ an+5/2an+1={1/2(2an+1)+9/2}/2an+1 ---(1) (1)の変換がよくわかりません