テイラー展開の問題が分かりません

質問

大学の課題で出された問題が分かりません。どなたか教えてください。
(1)x=0において、テーラーの定理を用いて、sinxを「2次（以下の）式」＋「剰余項」の形に表せ

(2)(1)を利用して次の極限を求めよ。
lim(x→0)(1/x^2 - 1/sinx^2)
読みづらいかもしれませんが、(2)の式は(xの2乗分の１)-(sinxの2乗分の１)ということです。どなたかお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

課題の丸投げやそれに対する丸解答はマナー違反になりますので、自分で出来るだけのことは（補足に）解答の途中計算を分かる所までは書いてください。そして行き詰った箇所だけ質問するようにして下さい。

(1)は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/euler/taylor.html
を参考に解答を作ってみてください。

(2)∞-∞型の極限なので分母のx^2を括りだしてから、ロピタルの定理を2回適用してみてください。そうすると　(x/sin(x))→1だけの収束に帰着します。

質問する場合は、やった解答の途中計算を補足に書いて分からない所を質問すること。

お礼

ありがとうございました。
(1)は剰余項が何なのかが分かりません。

(2)は自分でやってみたのですが、答えが-(1/3)になってしまいました。どうやったら1に収束するのでしょうか？

回答No.6

proto

＃5です。
＞f'''(θx)*(x^3)/6=-cos(θx)*(x^3)/6
＞ではないのでしょうか？

そうですね。
凡ミスです。ごめんなさいね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

proto

ん？なんか＃4の解答は違うような。
Wikipediaから引用させて貰います。

関数f(x)が閉区間[a,x]でn回微分可能のとき
　　f(x) = Σ[k=1~n-1]{f^[n](a)*((x-a)^k)/(k!)} + Rn　――(*)
が成り立つ。
このとき
　　Rn = f^[n](c)*((x-a)^n)/(n!)
　　　(ただし、a<c<x)

少しだけニュアンスを変えてテイラーの定理を言い直すと、式(*)を成り立たせるような非自明なcがa<c<xに存在するよと言っているのです。

このときのRnが剰余項で、今回はa=0で2次の項まで展開するので余剰項はR3ですね。
つまり、余剰項は
　　R3 = f'''(c)*(x^3)/6　　(0<c<x)
となるはずです。
質問者さんはcの代わりに、0<θ<1であるθを使っているようなので、
　　R3 = f'''(θx)*(x^3)/6　　(0<c<x)
ですね。
(θを使うのも一般的ではある)

決して、3次以下の全ての項が余剰項ではないですよ。

今回はテイラーの定理の問題ですが、テイラーの定理とテイラー展開は似て非なる物と思っていても良いでしょう。
というか、テイラーの定理？あ？どうせテイラー展開しとけばいいんでしょ？とか思ってると痛い目を見る。

テイラー展開とは、テイラーの定理における余剰項Rnがn→∞の極限で0に収束する範囲に着目して、関数を無限級数に展開するものです。
つまり、テイラー展開はテイラーの定理ありきのもので、しかもRnがn→∞で0になるかどうか評価しないことには展開が完了しないものです。
(例えば、余剰項を無視してln(x)をx=1の周りで展開したものにx=3を代入しても何の意味もない。
x=3のときRnは0に収束しない。)
テイラー展開はテイラーの定理から導かれるのです。テイラー展開を用いて、テイラーの定理におけるRnを求めるなんてのは順番が逆としか言いようがありません。

余剰項は一つの項です。余剰項自体が無限級数になったりはしません。
今回の場合は
　　R3 = f'''(θx)*(x^3)/6 = -sin(θx)*(x^3)/6
これが正解でしょう。

お礼

わざわざありがとうございます。
ただ、疑問が残るのですが、f'''(θx)*(x^3)/6=-cos(θx)*(x^3)/6
ではないのでしょうか？

そして(1)の答えはsinx=(x)-(cos(θx)*(x^3))/6となると思うのですが、違うんでしょうか？

回答No.4

info22

#2,#3です。
A#3の補足質問の回答
> sinxのマクローリン展開の式の((-1)^n)*(x^2n)/((2n)!)*(sinθx)の部分
>に3を代入した値が剰余式となり、
>sinx=x-(x^6/6!)*(sinθx)と書いていいのでしょうか？
やはり全然理解していないですね。

sinxのマクローリン展開の式から初項の第一項「x」を除いた残りが余剰項ですから、第2項のx^3の項 {f'''(0)/3!}x^3以降の項が剰余項です。
マクローリン展開の式
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)(x^2)/2!+f'''(0)(x^3)/3!+…+f^(n)(0)(x^n)/n!+…
でsin(x)は奇関数なので上の奇数項が消えて
f(x)=f'(0)x/1!+f'''(0)(x^3)/3!+…+f^(2m-1)(0){x^(2m-1)}/(2m-1)!+…
sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!+…
なので
初項がx
余剰項が
R3=-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!+…
つまりR3はxの３乗以上の項の和です。
これがどうして
>-(x^6/6!)*(sinθx)
とするのは理解に苦しみます。

なぜxの６乗の項が出てくるんですか？

これでは「-(x^3)/3!+(x^5)/5!」の項が余剰項から抜けてしまっています。しかもR3には「x^6」の項は存在しません。

R3={f'''(θx)/3!}(x^3) (0<θ<1)　
としないといけません。f'''(x)を求めてx→θxを代入すること。
（R3の添え字は2と書く場合もありますが、ちゃんと中身を理解していれば混乱することもないでしょう。）

お礼

たびたびありがとうございます。
ようやく、剰余項が何なのかが分かりました。
いろいろと失礼しました。

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足の質問の回答
(1)
>(1)は剰余項が何なのかが分かりません。
>>sinxを「2次（以下の）式」＋「剰余項」の形
と問題に書かれたならあまった余分な項が余剰項ではないですか？
しっかりしてください。

2次以下の項は一項しかありませんから、
余剰項は
sin(x)のテーラー展開の式=[初項]+R3
のR3が余剰項じゃないですか？
なので、
初項+R3
とでも書いておけばいいかと思います。
R3のより詳しい書き方は色々あります。
詳細は過去の質問のA#1を見てください。
http://okwave.jp/qa612968.html

(2)
>(2)は自分でやってみたのですが、答えが-(1/3)になってしまいました。
収束値は　-1/3　で合っていますよ。

>どうやったら1に収束するのでしょうか？
1　は　sin(x)/xのx→0の収束値で求める極限値ではありません。

お礼

ありがとうございます。
(1)はsinxのマクローリン展開の式の((-1)^n)*(x^2n)/((2n)!)*(sinθx)の部分に3を代入した値が剰余式となり、
sinx=x-(x^6/6!)*(sinθx)と書いていいのでしょうか？

(2)は勘違いをしていました。すいませんでした。

回答No.1

proto

(1)についていえば、定義通りに計算するだけです。
sin(x)を3回微分できれば計算できるはずです。
何がわからないのでしょうか？教科書を読んでください、定義式に当てはめてください。

(2)については、(1)を解いた後でもう一度挑戦してみて、それでも分からないのであれば何がわからないのか具体的に示して再質問してください。
問題を丸写ししただけでは質問にもなっていません。
あなたの疑問点を書きましょう。

お礼

ありがとうございました。
(1)に関しては、剰余項が何なのかがよく分かりません。
((-1)^n)*(x^2n)/((2n)!)*(sinθx)の部分が剰余項になるのだろうとは思うのですが、nに何を代入したものが正解なのかが分かりません。

(2)は(1)を利用せずとも解けました。