数学についての質問です

質問

lim（ｎ→∞）AnBn＝（lim（ｎ→∞）An）（lim（ｎ→∞）Bn）の証明です

An→α、Bn→βで

αβ―AnBn＝(α‐An)β＋An(β‐Bn)

ここで｜β｜＜Ｍ、｜An｜＜Ｍとすると

｜αβ‐AnBn｜≦Ｍ(｜α‐An｜＋｜β‐Bn｜）となるらしいんですがよくわかりません
数学があまり得意ではないのでわかりやすくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland

＞｜αβ‐AnBn｜≦Ｍ(｜α‐An｜＋｜β‐Bn｜）となるらしいんですがよくわかりません

　絶対値の大小関係と分かっている大小関係から次のように示していけばよいと思います。

　αβ―AnBn＝(α‐An)β＋An(β‐Bn)　だから

　|αβ‐AnBn｜
=|(α‐An)β + An(β‐Bn)|
≦|(α‐An)β| + |An(β‐Bn)|　　（等号成立は　(α‐An)βAn(β‐Bn)≧0 のとき）　　（∵　|x+y|≦|x|+|y|　）
=|α‐An||β| + |An||β‐Bn|
≦|α‐An|M + M|β‐Bn|　　　（等号成立は　α-An = β-Bn = 0 のとき）　　　　　（∵　|β|<M、|An|<M　）
=M(|α‐An| + |β‐Bn|)

∴|αβ‐AnBn| ≦ M(|α‐An| + |β‐Bn|)

お礼

お礼が遅れましたが...

凄く分かりやすいです！
ありがとうございます≧ω≦