- 締切済み
数学についての質問です
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
＞｜αβ‐AnBn｜≦Ｍ(｜α‐An｜＋｜β‐Bn｜）となるらしいんですがよくわかりません 絶対値の大小関係と分かっている大小関係から次のように示していけばよいと思います。 αβ―AnBn＝(α‐An)β＋An(β‐Bn) だから |αβ‐AnBn｜ =|(α‐An)β + An(β‐Bn)| ≦|(α‐An)β| + |An(β‐Bn)| （等号成立は (α‐An)βAn(β‐Bn)≧0 のとき） （∵ |x+y|≦|x|+|y| ） =|α‐An||β| + |An||β‐Bn| ≦|α‐An|M + M|β‐Bn| （等号成立は α-An = β-Bn = 0 のとき） （∵ |β|<M、|An|<M ） =M(|α‐An| + |β‐Bn|) ∴|αβ‐AnBn| ≦ M(|α‐An| + |β‐Bn|)
関連するQ&A
- lim an+bn = lim an+lim bn
n→∞ (1) lim an + bn = lim an +lim bn (2) 定数 c ∈R に対して, lim c an = c lim an (3) lim anbn = lim an lim bn, 証明を教えてほしいです
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 収束する数列に関する定理の証明についての質問。
教科書に載っている証明なのですが・・・ lim An=α、lim Bn=β とするとき、 n→∞ n→∞ An≦Bn (n=1,2,…)であればα≦βである。 【証明】 もしα>βであるとし、c=α-β( >0)とする。 lim An=α、lim Bn=β より、 n→∞ n→∞ nが十分大ならば、|An-α|< c/2、|Bn-β|< c/2であり、 したがってAn-Bn >0となり仮定に反する。 それで疑問に思ったのが、なんで突然c/2が出てきたのかと。 このc/2はなに者？ |An-α|< c/2、|Bn-β|< c/2 により なぜAn-Bn >0が言えるのかわからないのです。 助けてください＞＜
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限の証明
「a1=a,b1=b,(a＞b＞0) a(n＋1)=(an＋bn)/2 b（n＋1）=anbn^1/2 で定まる二つの数列｛an｝,{bn}は同じ極限値を持つことを示せ。」 という問題を解いていて、このリンクの証明を見たのですが、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1463528674 証明の最後で、a_n+1=ka_n を満たす1より小さい正の実数kが存在することから、 a_n=k^(n-1)*a1 として、n→∞でa_n→0としていましたが、 a_n=f(n)として、f(x)が単調減少関数でf(n+1)=k_n(fn) (k_nはnによって変化する1より小さいある正の定数)となっても、 k_nはnに依存するので、必ずしもx（またはn)→∞でf(x)(またはf(n))→0になるとは限らないのではないのでしょうか。（ex. k_n→1 (n→∞), f(x)=(1/x)+(1/2)) その可能性はないのでしょうか？ 以下がリンク先の証明の全文です。 与えられた漸化式と0＜a＜bより帰納的に0＜an,0＜bnとなる。 すると相加・相乗平均の関係より a(n+1)/b(n+1)=(an+bn)/2√(anbn) =(1/2){√(an/bn)+√(bn/an)}≧(1/2)*2*√(an/bn)*√(bn/an) =1 ∴b(n+1)≦a(n+1)となる。 ここで等号が成り立つとすると bn=anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)=(1/2)*2an=an となり an=a(n-1)=…=a1=a=b1=b となりa＜bに矛盾する。 よって等号は成立しないので b(n+1)＜a(n+1) となり、したがって bn＜an…(*) となる。 すると an+bn＜2anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)＜(1/2)*2an=an となる。 したがって0＜anより a(n+1)=k*an を満たす1より小さい正の実数kが存在する。 すると an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=…=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*a となるから lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0…(**) となる。 すると(*)と0＜bnより 0＜bn＜an だから(**)からはさみうちの原理により lim[n→∞]bn=0 となる。 よって lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn=0 となる。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学苦手な学生です。
数学苦手な学生です。 an>0とする lim(n→∞)an=3 ならば lim(n→∞)(an)^2=9 であることをε-N論法で示したいのですが… 証明が苦手でよくわかりません><;
- ベストアンサー
- 数学・算数
- limAnBn=AlimBn の証明
{An}(n≧1)は収束列で、limAn(n→∞)=A≧0とし,{Bn}(n≧1)は有界数列とする。そのとき、 lim(n→∞)AnBn=A×limBn(n→∞) となることを証明せよ。 という問題が分かりません。 Bnが limBn(n→∞)=B≧0 の収束列の時に lim(n→∞)AnBn=AB となるのは分かるのですが……。 ヒントや指針だけでもいいので、どなたか回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- はさみうちの原理（証明）
数列An<Xn<BnまたはAn≦Xn≦Bnでlim(n→∞)An＝lim(n→∞)Bn=lが存在すれば、lim(n→∞)Xnも存在してlに等しいことを証明せよ。という「はさみうちの原理」を証明する問題ですが、どうすれば証明できるでしょうか？よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数三の数列の極限値の性質について
数列の極限値の性質に 数列{An}{Bn}が収束して lim An=α lim Bn=β(ここに書くlimの下にはすべてｎ→∞があると考えてください） とするlim An/Bn＝αβとあり、 この法則を使って lim √(n+2)-√n/√(n+1)-√n を解こうとしました で、lim √(n+2)-√n＝0となったので lim √(n+2)-√n/√(n+1)-√n=0 としたのですが、答えは2です この考え方はどこがいけないのかわからないので わかる方教えてもらえませんか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学 幾何学？
学校で出された問題なのですが解答がなくて困っています。 できたら詳しく解説を載せて教えてください。 1． A,B⊂R（A≠ø、B≠ø）とする A+B＝｛z；∃a∈A,∃b∈B、z＝a+b｝とおく。このとき、A,Bが上に有界ならば、A+Bも上に有界でsup（A+B）＝supA+supBであることを示せ。 ２．Rの部分集合Sがエウに有界ならば、上界の中に最小の上界が存在することを示せ。 ３．数列｛an｝、｛bn｝が収束するとき、数列｛anbn｝も収束して、lim n→∞（anbn）＝lim n→∞an lim n→∞ bnであることを示せ。 以上よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 誰か教えてください・・・。
木曜日までの宿題なんですけど誰か教えてください・・・。 注：以下のan+1,bn+1 などはn+1番目のa,bという意味です。わかりにくくてすいません。 0＞a1＞b1 , an+1=√(anbn) , bn+1=(an+bn)/2 (n=1,2,3,・・・) で与えられている数列{an},{bn}について、次を証明せよ。 (1) {an}は増加関数、{bn}は減少関数である。 (2) lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn もう1問いいですか。 回転楕円形x^2+y^2+(z^2)/4=1の表面上で、f(x,y,z)=x+y+z を最大化するような座標を求めなさい。 むずかしいっすよね・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
お礼が遅れましたが... 凄く分かりやすいです！ ありがとうございます≧ω≦