lim an+bn = lim an+lim bn

質問

n→∞
(1) lim an + bn = lim an +lim bn
(2) 定数 c ∈R に対して, lim c an = c lim an
(3) lim anbn = lim an lim bn,

証明を教えてほしいです

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

高校の数学では証明なしに（「天下り的に」）成り立つのだと教えられますね。ですからこの証明は大学で初めて学ぶ内容だと思います。

添え字が使えないので，ここでは第ｎ項をa(n)で表すことにします。

極限を厳密に述べるためには俗にε-δ論法などと言われる方法で論じられます。
例えば，xを限りなくaに近づけた時のa(n)の極限値がαであること（つまりlim[x→a]a(n)=α）を
「任意の正の実数εに対して，｜x-a｜<δ⇒｜a(n)-α｜<ε　となる正の実数δが存在する」
と述べるのです。

nを限りなく大きくしたときのa(n)の極限値がαであること（つまりlim[n→∞]a(n)=α）は
「任意の正の実数εに対して，n>N⇒｜a(n)-α｜<ε　となる正の整数Nが存在する」
ですね。

（１）について
εを任意の正の実数とする。
lim[n→∞]a(n)=α,lim[n→∞]b(n)=βとすると，ε/2に対して
n>N⇒|a(n)-α|<ε/2，|b(n)-β|<ε/2
となる正の整数Nが存在する。
このとき，この正の整数Nにたいして
n>N⇒|a(n)+b(n)-(α＋β)|
=|(a(n)-α)+(b(n)-β)|≦|(a(n)-α)|+|(b(n)-β)|<ε/2+ε/2=ε
となって，
lim[n→∞](a(n)+b(n)=α＋βが証明されました。

（２）についても定数をくくるだけですから略します。
（３）についてはNo.１の回答者のとおりです。

回答No.1

gamma1854

式の表記にもう少し気をつかってください。
3) lim[n→∞] a[n]*b[n] = ( lim a[n] ) * ( lim b[n] ).
まず、与えられた正数ε1(いかに小さくてもよい)に対し、十分大きな正数Gをとると、n>G なるすべての番号ｎについて、
|a[n] - α| < ε1、|b[n] - β| < ε1.
とできます。
| a[n]*b[n] - α*β | ≦ | a[n] - α | * | b[n] - β | + |α| * | b[n] - β | + |β| * | a[n] - α |.
ですから、ε=min{ 1, ε1/(1+|α|+|β|) } にとれば、n>G で、| a[n]*b[n] - α*β | < ε とできることになります。